2019 Fiscal Year Annual Research Report

New developments in arithmetic invariant theory

Research Project

Project/Area Number	17H02835
Research Institution	Kobe University
Principal Investigator	谷口隆神戸大学, 理学研究科, 准教授 (60422391)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	数論的不変式論 / 概均質ベクトル空間 / 指数和
Outline of Annual Research Achievements	Frank Thorne 氏（サウスカロライナ大）を招聘し、さまざまな共同研究を行った。氏と、概素数判別式をもつ３次体と４次体の個数を下から評価する研究を行っていたが、有理数体上から整数環上のモデルに持ちあげる部分についての細部の技術的問題を解決し、また、特異軌道の階層的構造について、一般的に適用しやすい形に議論を整理した。より複雑な場合も、これによって、同様の議論が行えることが期待される。この成果は学術誌から出版された。また、Manjul Bhargava 氏（プリンストン大）及び Frank Thorne 氏（サウスカロライナ大）との共同研究で、３次体の判別式を数える関数について誤差項を研究した。局所条件をつけた場合の一様評価は、その平均で強い評価を得ることができた。部分分岐の指数が-1/3、完全分岐の指数が-1で、負数にまで落とすことができた。個別評価ではそれぞれ2/3と0だったので、大きく進展したと言ってよい。証明は、様々な軌道指数和の評価に帰着され、これまでの研究成果が適用される。副産物として、２次体の判別式を数える関数についても、誤差項の強い評価を得た。この成果に基づいて論文を再執筆している最中である。小山信也（東洋大）、加藤正輝（神戸大）と共同で、研究集会『第２回多重三角関数とその一般化』を開催し、不変式論や整数論と関わる特殊関数について、情報収集を行った。複雑な概均質ベクトル空間に伴う軌道指数和の明示公式も発表された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 数論的不変式論に関する成果が得られているため。
Strategy for Future Research Activity	軌道指数和の細分について詳しく調べる。また、余正則空間の不変式論的性質を用いた、解析数論への応用を研究する。