2017 Fiscal Year Annual Research Report
Singularities of surfaces and hypersurfaces in Lorentzian space forms
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17H02839
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ローレンツ空間型 / 平均曲率一定曲面 / 解析的延長 / 直線定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間のなめらかな曲面上の誘導計量が退化する点を光的点とよぶ．光的点は，誘導計量の表現行列の行列式の微分が消えないとき「非退化光的点」，そうでないとき「退化光的点」という．とくに非退化特異点を挟んで曲面の因果特性が空間的から時間的に変化する．一定な平均曲率 H をもつ曲面上に光的点があるある場合，H=0 のときは非退化光的点を持つ例が数多く得られている．一方，実解析的な曲面で H が零でない場合は，因果特性が変化することがないことが代表者らによってすでに示されている．したがって，この場合は非退化特異点を持ち得ない．そこで，一般に，平均曲率一定曲面（を含むクラス）が退化光的点をもつ場合を考察し，そのような場合，光的点の集合は3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の光的線分となることを示した（直線定理）．
3次元ド・ジッター空間の平均曲率 1 の空間的曲面は一般に特異点をもち，数多くの例が知られている「代表者，分担者，連携研究者藤森・國分，梁盛徳）．これらの中には，像がド・ジッター空間の固有な部分集合ではなく，極点を超える延長をもつ例が存在する．このような例を含む曲面の解析的延長の一般論の構成が進捗中である．とくに，研究延長期間中の 2018年7月にブラジルのサン・カルロスで開催された特異点論研究集会における Prof. K. Kurdyka との意見交換により，理論の最終形が見えてきた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の平均曲率一定な曲面が光的点をもつとき，光的点集合の挙動がほぼ明らかになり，光的点の局所的な理解が進展したと考えられ，一般にローレンツ多様体の超曲面に対して同様の問題を考えるための準備が完了した．
解析的延長をもつ曲面の理論はまだ完成には至っていない．これは，扱う対象がさまざまな挙動を示すために，理論の枠組みの設定が困難を究めていることによる．しかし，重要な進展が得られており，当初の研究計画より多少の遅延はあるが，結論が見えつつある．
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の曲面に対する直線定理を，研究分担者の梅原雅顕氏とともに一般化する．すなわち，ローレンツ多様体の超曲面の退化光的点の近傍での挙動を解析する．必要な考察は完了していると考えるが，ローレンツ多様体の微分幾何とくに光的測地線に沿うベクトル場に対する幾何学を整備する必要がある．
3次元ド・ジッター空間の平均曲率 1 の曲面の解析的延長を考察する．具体例として解析的カテノイド，幾何学的カテノイドというクラスを用い，固有でない曲面の解析的延長を具体的に書き下し，一般論のカバーすべき範囲を，分担者の梅原雅顕氏，連携研究者の藤森祥一氏・國分雅敏氏，高麗大学の梁盛徳氏らと特定する．
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