2020 Fiscal Year Annual Research Report
Singularities of surfaces and hypersurfaces in Lorentzian space forms
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17H02839
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ローレンツ多様体 / 直線定理 / 解析的拡張 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元ド・ジッター空間内の解析的カテノイド（ワイエルストラス・データにより特徴づけられる；代表者らの用語で A-catenoid）のうち楕円型カテノイドの解析的延長の具体的表示を得た．幾何学的カテノイド (G-catenoid) のうちいくつかはこれらのクラスに入る．これらのクラスについての解析的拡張可能性の議論の準備が完了した．またそれ以外のカテノイド（放物的カテノイド，双曲的カテノイド）についても解析が進行中である．この結果を踏まえ，解析的拡張可能性に関する一般論に関する議論が始まっている．
ローレンツミンコフスキー空間内の零平均曲率曲面に関する直線定理（退化光的点をもつならば，超曲面はその点をとおる外の空間の光的直線を含む）を一般次元のローレンツ多様体の零平均曲率超曲面を含むクラスに対して拡張した．この応用として，3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の空間的零平均曲率曲面に対するベルンシュタイン型定理（空間的零平均曲率 entire graph は平面に限る；Calabi）を「非時間的零平均曲率曲面」に対して一般化し「３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の空間的平面全体で定義されたグラフが非時間的な零平均曲率曲面を与えるならば，それは平面である」ことを得た．時間的部分をもつような零平均曲率曲面については反例が知られており，また，空間的零平均曲率曲面についても容易に反例が構成できるので，この拡張はは最良な結果である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解析的延長問題へのアプローチは先が見えてきている．また直線定理は十分満足がいく程度に一般化され，光的超曲面の解析に有効であることがわかってきており，概ね順調に成果が得られている．
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| Strategy for Future Research Activity |
すでに得られた例を踏まえ，解析的拡張の一般論を構築し，ド・ジッター空間の平均曲率１の曲面などいくつかのクラスにおいて具体例の分類を行う．また，直線定理の応用としてローレンツ空間系の光的超曲面の分類を目指す．分担者・連携研究者と密な連携をとりながら研究を推進する．
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