2018 Fiscal Year Annual Research Report
Rigidity of non-isometric actions of discrete groups and non-linear spectral gap
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17H02840
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90244409)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | スペクトルギャップ / 球面内の極小曲面 / 高次元多面体 / グラフの最適埋め込み |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、ボルツァ曲面とよばれる種数２の閉リーマン面上のある特異計量（リーマン面の構造と両立するもの）が面積一定という条件下でラプラシアンの第１固有値を最大化するという成果（ジャコブソン-レビティン-ナディラシュヴィリ-ニガム-ポルテロヴィッチ予想の肯定的解決）を論文にまとめてジャーナルに投稿したが、昨年度から今年度にかけてレフェリーの要求に対応して論文の修正に努め、無事出版にこぎつけることができた。また、今年度は、最大化計量が(高次元)球面への第１固有関数による極小はめこみから誘導される計量として与えられることをふまえて、球面内の種数２以上の極小閉曲面の構成について考察を進めた。具体的には、３次元球面の場合のローソン等によるプラトー問題の解を折り返して極小閉曲面を得るという手法が高次元の場合に適用可能であるという前提で、この構成に使える高次元多面体の可能性について検討した。
また、非線形スペクトルギャップと関連して、我々が考察していた有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあることが証明できた。昨年度から考察していた位相的にフラーレンと同型なグラフ上の重みを、線形スペクトルギャップを最大化するように定める問題についても解決をみた。この研究は五明工氏（名古屋大学大学院多元数理科学研究科博士後期課程3年）との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあることが証明できた。また、昨年度から考察していた位相的にフラーレンと同型なグラフ上の重みを、線形スペクトルギャップを最大化するように定める問題についても解決をみた。さらに、線形スペクトルギャップの最大化問題の連続モデルと捉えられる問題への成果をまとめた論文について、レフェリーの要求に対応して出版にこぎつけることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあるという成果の、非線形スペクトルギャップの研究への応用を目指す。また、連続モデルの研究、とくに第１固有値を最大化する計量の候補を与える極小閉曲面の構成に取り組む。さらに、離散群のヒルベルト空間へのアフィン等長作用に関して同変な離散群からヒルベルト空間への離散的調和写像の存在定理を強化する方向での研究を推進するとともに、ヒルベルト空間をバナッハ空間に置き換えて非等長的作用に関する固定点定理を一般化する方向でも考察を進める。
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