2018 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of the covering monopole map and its applications
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17H02841
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ゲージ理論 / 非可換幾何学 / K理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に5つの成果がある。完備4次元リーマン多様体上のL^2調和形式の存在と、計量の変形によるサイバーグ・ウィッテン極限解との関係を明らかにし、それを用いて新しい関数空間の枠組みにおけるサイバーグ・ウィッテン理論の構成を行った。二つ目の成果は、誘導された群作用付きヒルベルト・クリフォードC^*代数のK群の具体的な計算例を与えたことである。ソボレフ空間の間に具体的な非線形の写像を与え、それから構成されるK群の計算を初めて実行できた。三つ目は、ねじれサイバーグ・ウィッテン理論の構成である。研究の流れとしては、まず族のサイバーグ・ウィッテン理論の非可換化を行うことである。非可換化因子が二つあることがわかり、一つは構造群でもう一つは族のパラメーター空間である。構造群の非可換化を行うことで、ねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化はうまくいった。しかし有限次元表現のケースで、モジュライ空間のコンパクト性が成立しないことがわかった。一方で自明表現の場合に２つの相異なるinvolutionを導入し、それらでfixされる解はコンパクトであることが、具体的な計算を行うことでわかった。今後はその変形理論を構成することが課題となる。また族のパラメーター空間の非可換化の場合、有限群のケースは常にモジュライ空間はコンパクトであるが、ねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化はまだなされておらず、現在継続して研究を行っている。四つ目は、ナーム変換の非可換幾何学による一般化を行い、自由アーベル群のケースで具体的な計算を与えた。最後に、族のサイバーグ・ウィッテン理論を応用することで、今野・中村らとともに、族の4次元多様体で、位相的にはファイバー束としての構造を持つがその構造はsmoothにならず、さらにトータル空間自体はsmoothing可能な例を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は主にに5つの研究成果があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
被覆モノポール写像度は、線形化写像が同型であるという仮定の元で定義が与えられていた。しかし無限巡回群など基本的な無限群の例はそれをみたしていない。そのようなケースで被覆モノポール写像度を定めるためのあるアイデアがKasparov氏との議論において与えられた。今後はそれを実行することが一つ目の研究の推進方策である。二つ目は、構造群非可換化ねじれサイバーグ・ウィッテン理論において、involutionをfixする固定解のモジュライ理論の構成である。三つ目は、族のパラメーター空間の非可換化におけるねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化を与えることである。
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