2019 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of the covering monopole map and its applications
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17H02841
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サイバーグ・ウイッテン理論 / バウアー・古田理論 / ファイバー束 / 調和振動子 / 有限伝搬ユニタリ作用素 / 特性類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究成果は以下のとおりである。(1) mod2サイバーグ・ウイッテン理論を用いることで、4次元多様体の単純性に関する結果を得た。サイバーグ・ウイッテン理論はsmooth4次元多様体論に対して革命的な進展を与えたが、その一方でそれが与えることのできる情報に関して、ある種の次元に関する制約があることを単純性は示唆している。ここでは単純性が成り立つ4次元多様体のクラスを与えることで、単純性予想のevidenceを与えることができた。 (2) バウアー・古田理論を用いることで、4次元多様体をファイバーとするファイバー束の対で、全空間は互いに微分同相だがファイバー束としてはsmoothには同型ではなくしかも位相的にはファイバー束として同型なものの構成を行った。この構成はさらに研究を進めて、ファイバーの4次元多様体が非単連結な場合に同様の性質を満たす対の構成に成功しており、その例については現在論文を作成中である。 非単連結の場合は古典的な微分トポロジーで知られた結果がなく、その構成には単連結の場合とは異なる手法を用いる必要がある。(3) finitely propagatedユニタリ作用素全体のなす群とその完備化された群の双方のホモトピー型を決定した。この研究はさらに進展させることができ、特に双方の群の分類空間のホモトピー型まで決定ができた。これによりそのような群を構造群に持つ、end付きヒルベルト束の特性類の構成が可能になり、それが非自明な例を複数構成できた。特に調和振動子などの数理物理学における重要な例で非自明なバンドルの構成に成功しており、現在特性類に関する論文を作成中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究は概ね順調に進展しており、投稿論文も徐々に国際雑誌に掲載されつつある。
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| Strategy for Future Research Activity |
非コンパクト空間上の本格的な非線形解析の展開が今後の大きな目標となる。
それにより4次元多様体上の微分構造の複雑さを定量化していくことが期待される。
また古典的な微分トポロジーで知られているpseudo-isotopy理論を、
4次元多様体をファイバーとするファイバー束に対して展開することが今後の目標となる。
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