Construction of the covering monopole map and its applications

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17H02841
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Kato Tsuyoshi 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 上 正明 京都大学, 理学研究科, 教授 (80134443)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: サイバーグ・ウィッテン理論 / 被覆モノポール写像 / 有限伝播性を持つユニタリ作用素 / 非コンパクト空間 / ファイバー束の微分構造 / シンプルタイプ予想

Outline of Final Research Achievements

1. We found out the covering monopole degree for the infinite cyclic covering case. 2. We determined homotopy type of the group of finitely propagated unitary operators. 3. We verified non-existence of complete Riemannian metrics with certain properties on the exotic R^4 by deforming SW moduli spaces on K3 surface. 4. We presented an example of a compact topological fiber bundle whose total space, the fiber and the base are all smoothable but is non-smoothable as a fiber bundle by applying the family version of SW theory. 5. We introduced mod2 version of the simple type conjecture in SW theory and verified it for some classes of smooth 4-manifolds.

Free Research Field

非可換幾何学, ゲージ理論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

4次元多様体上の微分構造に対して、さまざまなアプローチによる研究を遂行した。特に、族の4次元多様体上の微分構造や、被覆空間上の微分構造に関して、新しい視点を与えた。また、SW不変量の情報を落としたところで、代数トポロジーでこれまで深く研究されてきたホモトピー論を適用することが本格的に可能であることを示したことで、今後の代数トポロジーと微分トポロジーのより深い融合研究への突破口を与えた。