2019 Fiscal Year Annual Research Report
Kobayashi pseudo-distance on projective varieties and higher dimensional Nevanlinna theory
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17H02842
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
山ノ井 克俊 大阪大学, 理学研究科, 教授 (40335295)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 高次元ネヴァンリンナ理論 / 小林擬距離 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度の研究実績は以下の通り。本研究課題の出発点の一つは、アーベル多様体の中の一般型部分代数多様体は擬小林双曲的である、という定理であった。2019年に、この結果をJ. Math. Soc. Japanより出版することができたが、2020年の春の日本数学会において、この論文はJMSJ論文賞を受賞することとなった。本研究課題の成果が、高く評価されたことは、大変心強いことである。ところで、この論文の結果を証明してから、アーベル多様体のところを、コンパクトとは限らない準アーベル多様体として、その中の対数的に一般型な準射影多様体に関する結果に拡張できないか、ずっと考え続けてきた。この拡張を行おうとすると、技術的ではあるが、深刻な問題に突き当たり、アーベル多様体の部分多様体の場合に適用した方法を、そのままの形で適用できない。令和元年度の最大の成果は、これを解決する糸口を見出したことである。そのためには、アーベル多様体の場合に適用した証明方針を大幅に変更する必要があった。すなわち、準アーベル多様体の対数的ジェット束上の代数的集合を、いわば微分方程式として、その積分多様体を構成し、さらにその積分多様体を用いて準アーベル多様体の族を平行移動する、という方針をとる。まだ証明の全貌は明らかになっていないが、かなり複雑になりそうである。現在論文を執筆しながら、このアイディアによって細部に至るまで証明をしっかりつけることが可能か、確認する作業をしており、それが完成するまでは、まだ問題が解決したとは言えないのは、もちろんのことである。これは令和2年度に引き継ぐ課題になる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の出発点の一つは、アーベル多様体の中の一般型部分代数多様体は擬小林双曲的である、という定理であった。この定理を証明後に、ずっと懸案であった、準アーベル多様体の中の対数的に一般型な準射影多様体に関する結果に拡張するための糸口を見出すことが出来た。これは、現在進行中の研究であり、まだ証明が上手くいくかどうかは、分からないが、どうすればよいか、五里霧中であったころに比べれば、格段の進歩であると感じている。また、冒頭の定理に関して、この春に2020年JMSJ論文賞を受賞した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策は以下の通り。現在、コンパクトとは限らない準アーベル多様体の中の対数的に一般型な準射影多様体は擬小林双曲的である、という命題を証明するための研究を続けている。令和2年度は、この研究を継続する。そのために、準アーベル多様体の対数的ジェット束上の代数的集合を、いわば微分方程式、あるいは葉層構造とみて、その積分多様体を構成し、さらにその積分多様体を用いて準アーベル多様体の族を平行移動する、という方針をとる。コンパクトでない準射影多様体を扱うため、コンパクト化の境界の取り扱いや、コンパクト化に依存して変わりうる性質の取り扱いが、かなり微妙であり、慎重に研究を進める必要がある。準ア－ベル多様体が代数的トーラスであり、準射影多様体が、代数的トーラスの境界に対して、一般の位置にある超平面である場合に、古典的なブロッホ・カルタンの定理を含むような定式化で研究を完成させることが望ましい。上記の、対数的ジェット束上の代数的集合を、葉層構造とみて、その積分多様体を構成する方針は、意外にも、ブロッホ・カルタンの定理の古典的な証明と類似性をもっている。そのことは、現在の研究方針が正しい方向に向かっている可能性を示唆しているように思われる。
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Research Products
(2 results)
