2017 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of discrete groups and its applications to 3-dimensional topology
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17H02843
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
作間 誠 広島大学, 理学研究科, 教授 (30178602)
宮地 秀樹 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40385480)
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 双曲構造 / Klein群 / Teichmuller空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3次元多様体の幾何的研究をKlein群，結び目理論双方から研究し，またTeichmuller空間の解析的研究と結びつけた．より具体的には以下のような成果を挙げた．大鹿はMahan Mjと共同でquasi-Fuchsian群のCannon-Thurston写像が境界群のCannon-Thurston写像に各点収束するかどうかという条件を完全に決定した．作間はPalouzziと共同で，自由周期２を持つ素結び目でアキラルなものは存在するかという問題に対して肯定的解答を与えた．宮地はTeichmuller空間の解析的座標のLevy形式の研究を進め，対応する正則2次微分の平方根により定義されるリーマン面の周期行列の虚部により定義される2次形式と一致する事を示した.さらにこの座標を用いて，極値的長さの関数の微分公式(Gardinerの公式)の別証明を与 えた. 森藤は双曲結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson予想について，予想が成立する新しい例を発見した．山下は2006年に佐藤宏樹らによって提起された２元生成クライン群のJorgensen数の実現問題に関する研究を行った.
これらの研究の発表と新しい方向を探る為に，大鹿，森藤，山下に創価大の北野氏を加えて組織委員で，Topology and Geometry of Low-dimensional Manifoldsの題名で10月に奈良女子大で国際研究集会を開催した．ここでは特にフランスからの参加者と活発な議論が交わされ，写像類群の作用の剛性に関する共同研究の端緒が切り開かれた．またMarseilleのLuminyでの長期の研究集会に大鹿がScientific committee,森藤がorganising committeeのメンバーとして加わり，本研究の成果の発表，今後の共同研究の枠組み作りを行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画した方向での研究が予想外の展開も含めて順調に進んでいる．論文執筆，国際研究集会での発表なども数多く行っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
Klein群の変形空間については，まずMjとの共同研究を継続し，Schottky空間におけるCannon-Thurston写像が境界で各点収束するための条件を決定する．さらにKlein群の発散の理論を発展，応用させて，Skinning写像の固定点の存在証明に元来使われたThurstonのbounded image定理（実際は未だ証明されていない）に正しい証明を与える．
Teichmuller理論の複素解析的側面と位相幾何的側面の関連を解明する取り組みを進める．特に交点関数が無限遠境界に導く構造がGardiner-Masur境界への収束と関連する様子を，交点関数の構造が持つ剛性と関連させて理解することを試みる．
大鹿は国際研究集会を9月のOberwolfach，10月の奈良，1月の京都で組織し，分担者の何人かも参加することにより，本研究の成果の公表と，今後の研究発展の為に役立てる．
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