2018 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of discrete groups and its applications to 3-dimensional topology
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17H02843
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
作間 誠 広島大学, 理学研究科, 教授 (30178602)
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 離散群 / Klein群 / 双曲多様体 / ３次元多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
繰り越しをした年度も含めた期間で以下のような研究を遂行した．
大鹿はPapadopoulosと写像類群の作用の剛性についての研究を進め，曲面上のgeodesic laminations全体が作る空間に非対称Hausdorff距離を入れたものについての剛性を示した．さらにPapdopoulos，Yi HuangとともにThurstonの非対称計量の下での，Teichmuller空間のRoydenの剛性と類似の無限小剛性を証明した．また大鹿，作間は秋吉らと共同で２元生成Klein群のうち自由群とならないものを分類するというAgolのプログラムを完成させた．宮地は擬等角写像の無限小空間を擬等角写像の空間における力学系による極限集合と理解してその基本的性質を得た．さらに，宮地はNewYork市立大学のDragomir Saric氏と共同研究によりTeichmuller円板の境界挙動を調べた．森藤は双曲絡み目のねじれアレキサンダー多項式が持つ性質と比較するために，3次元球面内のトーラス絡み目のねじれアレキサンダー多項式を詳しく考察して明示公式を与えるとともに，それがSL(2,C)-指標代数多様体上で局所定数になることを示した．山下はSL(2,C)の部分群で、2つの楕円的な元で生成されるものについて，算術的クライン群になるものの分類（数え上げ）のための研究を行った．さらにある種の条件をみたす整数係数モニック多項式の数え上げを行うための計算機を用いた研究を進めた．
これらの研究をロシア，韓国などで開催された国際研究集会で発表するとともに，金沢大学で国際研究集会を主催することにより，今後の研究の発展につなげる努力をした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画とそこから分岐して生じた問題の解決が進み，論文，研究集会での発表も順調に行われている．
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| Strategy for Future Research Activity |
Klein群の変形空間については，bounded image theoremに完全な証明をあたえることにより，変形空間の発散数列を幾何的に実現する問題に最終的な解答を与える．この部分の研究は大鹿とCyril Lecuireと共同で行う．大鹿と宮地はBers境界の解析的な性質をmodel manifoldの手法を使うことにより進める．これによりBers以来懸案となっている，無限遠境界の幾何と双曲多様体の幾何の間のギャップを埋めることを試みる．さらにThurtonの非対称距離について，高次元の類似物を構成し，特にflat metricの場合に接空間の構造を調べる．大鹿とGuptaは曲面群の指標多様体のMorgan-Shalenコンパクト化での写像類群作用のダイナミクスを研究し，不変閉集合の分類を行う．大鹿は韓国の共同研究者とともに，２元生成自由群のPSL(2,R)への表現がgenericにtorsionから来ないrelatorを持つ条件を決定する．
以上のような研究をインド，フランス，韓国，中国への出張での共同研究と成果発表，金沢で開催する国際研究集会を通じて深めていく．
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