2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of discrete groups and its applications to 3-dimensional topology
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17H02843
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
作間 誠 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (30178602)
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 離散群 / 3次元多様体 / 双曲幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大鹿は双曲平面の測地3角形の各辺の中点についての点対称で生成される群が，いつねじれ元から生成されない非自明な関係をもつかという問題に，Sangyun Kim, Thomas Koberdaらとの共同研究で取り組み，非自明な関係がgenericに現れることを証明した．また非自明な関係が表れない場合の分析を進めた．
作間は，多様体内のコンパクト部分集合に対する motion group の概念を弱めた homotopy motion group の概念を導入して，ハーケン多様体内の圧縮不能曲面の homotopy motion group を完全に決定し，また古宇田と共同で有向３次元閉多様体のヘガード曲面に付随する自然な写像類群と homotopy motion group の関係を調べた．
森藤は双曲結び目のファイバー性と種数が双曲的トーション多項式で決定されるというDunfield-Friedl-Jackson予想を3橋結び目の場合に詳細に考察し，これまで技術的な理由で扱うことのできなかった双曲的偶数プレッツェル結び目の無限系列に対して，DFJ予想を証明することに成功した．
宮地は，タイヒミュラー空間の複素解析的研究を続け，特にGuangming Huと共同研究により，タイヒミュラー空間上のBergman核関数を測度として考えた場合，Masur-Veech測度から定まる測度と比較可能であることを示した．
山下は生成元の数を固定したメビウス変換群の集合に，幾何的に自然な確率測度を導入し，ランダム発生させたメビウス変換群が離散群になる確率について考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年度に繰り越した分について，従来の研究計画では，海外の研究者との共同研究に多く当てるはずであった．コロナ禍の影響により，海外出張ができなかったために，zoomでの研究連絡と国内での共同研究に置き換え研究を進めた．しかしながら外国研究者の専門知識を必要とする部分について研究が遅れることになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度の後半からは元来の研究計画通りの体制に戻ることができると期待している．本年度開催できなかったフランスの研究者を招いての本課題をテーマとした研究集会についても，2021年度の後半には開催できると見込んで計画を進めている．さらに韓国，フランスでの研究発表も再開する予定でいる．
一方で海外出張ができない状況の中でも研究を進められるように，海外の研究者との遠隔セミナーなどの体制作りも進めている．
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