2018 Fiscal Year Annual Research Report
３・４・５次元多様体上の葉層・接触・シンプレクティック構造の研究
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17H02845
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 教授 (70190725)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三好 重明 中央大学, 理工学部, 教授 (60166212)
高倉 樹 中央大学, 理工学部, 教授 (30268974)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シンプレクティック構造 / 接触構造 / Anosov 流 / Lefschetz fibration / Milnor fibre / 尖点特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究の進展は以下のとおりに大きく３つにまとめることができる。
（１）５次元球面上の symplectic 葉層の構成に関連して、単純楕円特異点および尖点特異点の Milnor fibre に指数が特殊に低い場合を除いてほとんどの場合には Lefschetz fibration を構成できた。前年度に写像の候補が見つかっていたが、これを微細に修正することにより実際に Lefschetz fibration を与えることの厳密な証明が得られた。Presas 氏が提案した、葉層 Lefschetz fibration の構造を見事に実現しており、例えば、５次元球面上の Lawson 葉層はより古典的な3次元球面上の Reeb 葉層の上のLefschetz fibration として得られることが具体的にわかる。
（２）上の研究内容をより特異点論・複素曲面の立場から検討することを開始した。特に、特異点論の立場からは、尖点特異点の間の strange duality を幾何学的に説明する基盤となる。一方で、これらを１９８０年代に代数幾何的に扱っていた中村郁氏の研究との比較を開始し、K3 曲面の、特にVII型Hirzebruch-Inoue曲面の関連について、代数幾何とは違う位相的な方向からの検討が可能となった。
（３）４次元多様体上の２次元葉層の turbulization に関して、トーラスが現れる場合の具体的構成法を新たに開発した。これにより、 cohomology の障害が消えるほぼ総ての場合の具体的構成法が得られたことになる。この方法は、４次元空間の中で２次元曲面の族がどのように捉えられるかという大きな問題にかかわっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
量子化の方向への研究がまだ進展していない。これがやや遅れていると思われる主な理由だが、その原因は Lefschetz fibration の構成に関する研究に大半の労力を割かれたことにある。
一方で、Lefschetz fibration に関する研究は、予想以上に大きな実りのあるものと思われるので、むしろ、やや予想外の方向への進展が起きているとの評価ができる。
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| Strategy for Future Research Activity |
１）Lefschetz fibration に関しては、まだ証明しきれていない特殊な場合がある。これについて最終的に決着させることが急務である。証明できている場合に開発、適用した写像の（無限に）小さな変形理論を、「ある程度小さい変形」の形で適用することに克服できると考えられる。
２）この課題の strange duality にかかわる部分について、代数幾何的な考察から得られるものを位相的に証明し、更にその枠組みを広げて位相的な問題を定式化し、証明する。代数幾何的な障害があるが、むしろ位相的に解釈することで本来の研究が進むと思われる。
３）次数の高い単純楕円特異点や連立でしか得られない尖点特異点の場合にも Lefschetz fibration の理論を拡張する。これにより、これまでの研究をシンプレクティック葉層としては5次元球面以外の重要な場面に拡張できると考える。
４）Anosov 流がかかわる接触構造の凸性を Engel 構造の幾何などと同様の量子化幾何構造（田中理論）を用いて証明する。これは昨年度進めた Engel 構造の研究と基盤が重複するので同時に進められる可能性が高い。
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