2018 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry and analysis on metric measure spaces based on the theory of Markov processes and optimal mass transport
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17H02846
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558)
桑田 和正 東北大学, 理学研究科, 教授 (30432032) [Withdrawn]
石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / 最適輸送理論 / 測度距離空間 / リーマン多様体 / 測度集中現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３０年度、桑江は中国科学院 Xiangdong Li 教授と共同で得た重み付きラプラシアンに関するCD(K,m)条件下でmが１以下の場合のラプラシアン比較定理を元に対応する拡散過程の保存性とフェラー性を従来とは少し異なる条件下で得ることに成功した。さらに防衛大学校准教授・土田兼治氏と共同で絶対連続性条件の下で２種類のグリーン緊密な加藤クラス測度のクラスが一致することを得てその帰結として絶対連続性条件の下だけで対称化測度がグリーン緊密な加藤クラス測度の場合にコンパクト埋め込み定理を得ることができた。これはレゾルヴェント強フェラー性をもつマルコフ過程の場合に東北大学(現関西大学)教授の竹田雅好氏の結果を拡張したものである。塩谷は京都大学教授・藤原耕二氏と共同で負曲率を持つ完備，非コンパクトな４次元多様体のエンドにある種のグラフ多様体が現れることを調べた。太田は距離空間上の準凸関数の勾配曲線として現れる自己収縮曲線（self-contracted curve）の研究を継続し、N. Lebedeva氏、V. Zolotov氏と共同で、自己収縮曲線の弧長有限性を曲率が下に有界な距離空間（Alexandrov空間）を含むより広いクラスへ拡張した。また、首都大学東京准教授の高津飛鳥氏と共同で、重みつきリーマン多様体における次元に依らない対数ソボレフ不等式の等号成立条件を調べた。石渡はBielefeld大学のA. Grigor'yan教授、Cornell大学のL. Saloff-Coste 教授と共同で非コンパクトリーマン多様体の連結和上の熱核の長時間挙動の研究を行い、空間がパラボリック（ブラウン運動が再帰的）である場合には、連結部分の熱核の挙動は増大度がもっと大きいエンドがコントロールすることを明らかにした
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究分担者である桑田が分担を辞退したため、共に研究目的(b) のMCP(K;N)-空間および劣リーマン多様体の比較幾何学についての研究と研究目的(c) で挙げた各点でのリッチ曲率の下限の概念をもつ変数型RCD 条件をもつ測度距離空間であるRCD(K();N)-空間あるいはMCP(K(),N)-空間の研究が中座した形ではあるが、研究協力者であるXiang-dong Li教授との共同研究の内容が期待以上に進展したことと、関連するマルコフ過程の解析が突発的に進展したことが研究計画の遅れを補う形になった。研究分担者である塩谷、太田、石渡はそれぞれの分担領域において順調に研究が進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はXiangdong Li 教授と共同でmodified m-Bakry-Emery Ricci curvature の下限条件下での幾何解析、特に調和関数に対する勾配評価やハルナーク不等式の導出について研究を進める。また桑田和正氏と共同研究予定であった測度距離空間上での変数型RCD条件あるいは変数型MCP条件下でのラプラシアンの比較定理とそれを用いた同型過程の確率論的表示の確立を目指す。さらに土田兼治氏と共同で、氏との２０１８年度の研究成果に基づき、対称マルコフ過程の加法的汎関数に値する大偏差原理を極めて一般的な形で得ることを目標にする。
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Research Products
(14 results)
