2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry and analysis on metric measure spaces based on the theory of Markov processes and optimal mass transport
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17H02846
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558)
石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / 最適輸送理論 / 測度距離空間 / リーマン多様体 / 測度集中現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度、桑江は福岡大学大学院理学研究科修士課程学生である宿利俊熙氏と共同で、完備リーマン多様体上の滑らかなベクトル場による非対称ラプラシアンに対応するm が1以下の場合のm-Bakry-Emery Ricci tensor 下限条件の設定でラプラシアン比較定理を確立することにに成功した。さらに熊本大学先端研究部・金大弘氏と共同で絶対連続性条件の下でに一般化されたシュレディンガー形式における劣臨界性・臨界性・優臨界性の特徴付けを与えることに成功した。これは関西大学システム理工学部教授の竹田雅好氏の結果を拡張したものである。塩谷は京都大学教授・藤原耕二氏と共同で負曲率を持つ完備，非コンパクトな４次元多様体のエンドにある種のグラフ多様体が現れることを調べた。太田は距離空間上の準凸関数の勾配曲線として現れる自己収縮曲線（self-contracted curve）の研究を継続し、N. Lebedeva氏、V. Zolotov氏と共同で、自己収縮曲線の弧長有限性を曲率が下に有界な距離空間（Alexandrov空間）を含むより広いクラスへ拡張した。また、首都大学東京准教授の高津飛鳥氏と共同で、重みつきリーマン多様体における次元に依らない対数ソボレフ不等式の等号成立条件を調べた。石渡はBielefeld大学のA. Grigor'yan教授、Cornell大学のL. Saloff-Coste 教授と共同で非コンパクトリーマン多様体の連結和上の熱核の長時間挙動の研究を行い、空間がパラボリック（ブラウン運動が再帰的）である場合には、連結部分の熱核の挙動は増大度がもっと大きいエンドがコントロールすることを明らかにした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
概ね順調に研究は進展している。桑江は大学院生である宿利俊熙氏と完備リーマン多様体上の滑らかなベクトル場による非対称ラプラシアンに対応するm が1以下の場合のm-Bakry-Emery Ricci tensor 下限条件の設定でラプラシアン比較定理を確立することにに成功したが, その形は基点の取り方には依存するとはいえ様々な幾何学的結果を得ることを可能にした。例えば弱い形でのBishop-Gromov 不等式やMyers 型の直径定理やコンパクト性定理, Ambrose-Myers 型のコンパクト性定理, Cheeger-Gromoall 型の分裂定理, ベクトル場が勾配型の場合ではあるがCheng の最大直径定理などである。またAIMR助教の櫻井陽平氏と中国科学院教授Xiangdong Li 氏と共同で境界付きリーマン多様体上での勾配型非対称ラプラシアンによるm が1以下の場合のm-Bakry-Emery Ricci tensor の下限と境界上の重み付き平均曲率の下限で境界までの距離関数に対するラプラシアンの比較定理を研究進行中であり, あわせて境界がない場合のm が1以下の場合のm-Bakry-Emery Ricci tensor 下限条件を最適輸送理論の体裁で記述する共同研究も進行させている。これらは当初の研究目的に沿った研究であり。２０２０年度の実績報告が可能であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はXiangdong Li 教授と共同でmodified m-Bakry-Emery Ricci curvature の下限条件下での幾何解析、特に調和関数に対する勾配評価やハルナーク不等式の導出について研究を進める。また桑田和正氏と共同研究予定であった測度距離空間上での変数型RCD条件あるいは変数型MCP条件下でのラプラシアンの比較定理とそれを用いた同型過程の確率論的表示の確立を目指す。さらに土田兼治氏と共同で、氏との２０１８年度の研究成果に基づき、対称マルコフ過程の加法的汎関数に値する大偏差原理を極めて一般的な形で得ることを目標にする。さらに京都大学数理解析研究所博士後期課程在籍の森隆大氏と共同でKato class 測度の拡張概念であるLp-Kato class 測度について熱核による定義とグリーン核による定義が熱核の短時間上下評価条件の下で一致することの共同研究を行う。合わせてGreen-tight な測度の一般化であるLp-Green-tight 測度について共同研究を行い、有用な結果を導出していく。またAIMRの櫻井陽平氏と共同でm が1以下の場合のm-Bakry-Emery Ricci tensor 下限条件を最適輸送理論の体裁で記述する共同研究を計画している。さらに櫻井陽平と共同で離散の設定での最適輸送理論による特徴づけについて研究を推し進めていく予定である。
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