2020 Fiscal Year Annual Research Report
不確定特異点を持つD-加群と幾何学的モノドロミーの研究
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17H02848
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
竹内 潔 東北大学, 理学研究科, 教授 (70281160)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | D-加群 / フーリエ変換 / モノドロミー / 特異点理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
望月拓郎と Kedlayaの理論により、不確定特異点を持つホロノミー D-加群の理論は劇的な発展を遂げた。特に D'Agnoloと柏原は、不確定特異点を持つホロノミー D-加群に対するリーマンヒルベルト対応を確立した。また柏原と Schapiraは、これをホロノミー D-加群のフーリエ変換に応用した。フーリエ変換は D-加群の理論で基本的な対象だが、高次元の場合の詳しい性質はほとんど未解明である。我々は、柏原-Schapiraの理論を用いて正則ホロノミー D-加群のフーリエ変換の詳しい性質を解明した。特にその特異集合を具体的に記述し、それに沿う指数因子や不確定度が元の正則ホロノミー D-加群の特性多様体を用いて記述できることを示した。我々は、さらにある特別な形の不確定特異点を持つホロノミーD-加群にたいしても、同様の結果が成り立つことを示した。これらの結果は、約30年前の Brylinskiの結果を拡張するものであり、さらなる発展が期待される。幾何学的モノドロミーの研究については、これまで得られた結果を有理（型）関数のミルナーモノドロミーやその定める写像のモノドロミーに一般化した。そのために、Deligneにより定義された nearby cycle函手を有理型関数の場合に一般化し、基礎理論を整備した。また有理関数の定める複素平面への写像について、その分岐点集合のニュートン多面体を用いた上からの評価を得た。これは Nemethi-Zahariaの古典的な結果の拡張である。さらに有理型関数にたいするBerstein-佐藤多項式を発見し、その根と有理型関数のミルナーモノドロミーに関して柏原-Malgrangeの定理の類似を証明した。またこの新しいBerstein-佐藤多項式の理論を用いて、有理型関数の定める乗法的イデアル層の跳躍数の集合の上からの評価を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ホロノミー D-加群のフーリエ変換の研究については、大きな進展があった。しかしこれを一般の場合に拡張することには、まだ成功していない。また幾何学的モノドロミーの研究については、有理（型）関数のミルナーモノドロミーやその定める写像のモノドロミーという、まったく新しい研究テーマに出会うことができた。これにより、有理型関数にたいするBernstein-佐藤多項式を発見するなどの進展もあった。さらに有理関数の定める複素平面への写像について、その分岐点集合のニュートン多面体を用いた上からの評価を得た。しかしながら、以前より挑戦していたモノドロミー予想については、まだ一般的な解決のための方針がたっていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
ホロノミー D-加群のフーリエ変換の研究については、より一般のホロノミー D-加群を扱うために、まず様々な具体例の計算からスタートする。この場合、多項式や有理式の定める複素平面への写像の特異性を詳しく研究する必要がある。これについて海外の特異点理論の研究者による多項式の場合の先行研究をモデルとして、研究を進めたいと考えている。またモノドロミー予想については、モチヴィックゼータ関数や混合ホッジ加群を用いた証明を模索する。そのために、これらについて精力的に研究を行っている研究者との交流を深め、さらに多くの関連書籍を購入する。
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