2017 Fiscal Year Annual Research Report
力学系のエルゴード理論的挙動に付随する様々な極限定理とその応用に関する研究
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17H02850
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
盛田 健彦 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00192782)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
杉田 洋 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50192125)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 極限定理 / エルゴード理論 / 力学系 / 転送作用素 / 熱力学形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者が20年以上前に発表した１次元力学系の中心極限定理から派生する局所極限定理を「ひな形となる定理」と位置づけ、平成２９年度は以下のような研究を行った。
(1) 参照測度に非特異な変換があり、参照測度に関する Perron-Frobenius 作用素が擬コンパクトとなるような Banach 代数で、本質的有界関数の空間に連続的に埋め込まれ、かつ可積分関数の空間で稠密となっているようなものが存在するという抽象的な仮定を満たす力学系の場合に「ひな形となる定理」を拡張することを試みた。
(2) 上記に (1) と同様の枠組みで力学系の Poisson法則を扱う段階に着手した。
(1) については概ね目標を達成し、途中経過については2017年 11月に開催された研究集会「エルゴード理論とその周辺」での講演 “Expedient Banach algebras for piecewise expanding fibred systems” において報告した。(2) については転送作用の解析的摂動論を素朴な方法で見直すことによって、固定された１点のある自然な分割が定義する近傍への訪問回数の分布が、その近傍を１点に潰していくにしたがってどのような分布に近づいていくかを Poisson 法則を一般化した形式で述べることに成功した。これについては、2018年3月に岡山大学で開催された研究集会「岡山・広島 解析・確率論セミナー2018」の招待講演 “Some limit theorems for piecewise expanding dynamical systems via perturbed transfer operators” の中で紹介した。
以上の結果は本研究と同時に進めている「ゆらぎの定理」と関係する他の研究課題とも連動しており、相互に一方が他の研究の駆動力となることが期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度は以下の段階に重点を置いた研究を行う予定であった。
（第１段階）「ひな形となる定理」は「混合性条件」を満たすという仮定のもとで証明されている。まず、代表者等による先行研究を参考に「混合性条件」をはずした形に局所極限定理を正確に書き直す作業を行う。
（第２段階）代表者の先行研究における混合型中心極限定理は参照測度に非特異な変換があり、参照測度に関する Perron-Frobenius 作用素が擬コンパクトとなるような Banach 代数で、本質的有界関数の空間に連続的に埋め込まれ、かつ，可積分関数の空間で稠密となっているようなものが存在するという条件下で証明されている。そこで、第２段階ではそのような抽象的な仮定を満たす力学系の場合に「ひな形となる定理」を拡張する。余裕があれば同様の枠組みで力学系の Poisson 法則を扱う段階に着手する。
第１段階はほぼ終了し、第２段階と並行して「ひな形となる定理」における局所極限定理を Poisson 法則に置き換える作業も現在進行中である。したがって、初年度の研究は概ね当初の計画どおりに進んでいると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度の計画は主に代表者による２０年前の「ひな形となる定理」の「混合性条件」を外した場合の主張を正確に記述する第１段階と、代表者等による先行結果とに類似の抽象的定式化の枠組みで「ひな形の定理」の一般化を試みるという第２段階に重点を置いた。第１段階はほぼ終了し、第２段階と並行して「ひな形となる定理」における局所極限定理を Poisson 法則に置き換える作業も現在進行中である。今後は第２段階の残りの部分に加え、それと関係する第３段階を重点的に扱う。具体的には以下のように研究を進める。
（第２段階）参照測度に非特異な変換があり、参照測度に関する Perron-Frobenius 作用素が擬コンパクトとなるようなBanach 代数で、本質的有界関数の空間に連続的に埋め込まれ、かつ可積分関数の空間で稠密となっているようなものが存在するという条件下で「ひな形となる定理」を証明するというのがこの段階であるが、極限分散の非退化性や考えているBanach代数の構成要素の分解を得るためには何らかの正則性の条件を課す必要がある。具体的な応用例を見据えながら、その条件に相応しいものを抽出する作業が残っており、それを終わらせるべく研究を推進する。
（第３段階）「ひな形となる定理」はモジュラー曲面の測地流に関係した応用については不十分であったため、その後本研究代表者によって改良されている。それに対応する改良を第２段階で得られた Bamach代数についても実行しておかなければ先行研究の真の拡張とはいえない。そこで、観測量に対応する関数がこの Banach代数には属さないものの Perron-Frobenius 作用素を何回か作用させることによってその Banach代数に落ち込むという仮定のもとで第２段階と同様の結果を示す。必要に応じて議論の単純化のため「混合性条件」を再び仮定する必要性もあると考えている。
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