2018 Fiscal Year Annual Research Report
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17H02854
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
中西 賢次 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40322200)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形波動 / 散乱理論 / ソリトン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
眞崎は質量劣臨界の非線形 Schrodinger 方程式について、球対称で負の斉次 Sobolev 空間に入る解を調べた。反発性非線形項の場合は、臨界ノルムが有界な大域解の漸近挙動は散乱で与えられることを示し、集約性の場合は、臨界ノルムの大域上界が最小となる非散乱解を構成し、その解軌道がプレコンパクトであることを示した。また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形 Schrodinger 方程式について、小さい初期値に対するソリトン分解定理、即ち時刻無限大でソリトンと散乱波の和に漸近することを示した。
水谷はポテンシャル付き非線形 Schrodinger 方程式のエネルギー散乱への応用を念頭に、線形散乱において (修正) 波動作用素が L2 上で存在する場合に Sobolev 空間上でも存在するための十分条件を抽象的な枠組で導出した。例えば１階の Sobolev 空間の場合、この条件は臨界特異性を持つ短距離型、滑らかな長距離型、一次元点相互作用等のポテンシャルを含み、更に Schrodinger 方程式以外の分散型方程式にも適用できる。
中西は４次元 Zakharov 系に対する大域ダイナミクスの結果を球対称から一般解へ拡張する為、大域 Strichartz 評価の証明枠組を解作用素展開とプロファイル分解の観点から簡素化し、また鍵となる双線形評価を得た。量子効果付き Zakharov 系に対しては L2 解の初期値問題を考察し、局所・大域適切性および散乱について、成立する空間次元に関して古典系より大幅に改善されることを示した。他方、２次元のエネルギー臨界である二乗指数型非線形項の熱方程式に対して初期値問題の強解一意性の崩れを示し、関連する Trudinger-Moser 不等式に対して、最大化元の存在・非存在を分ける非線形項の境界を、第３項まで具体的な漸近展開で与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究成果は、革新的なブレークスルーとまでは言えないが、現象解明と技術開発の両面において着実に進歩を重ね、持続的発展が確実に期待できる。特に、線形ポテンシャルを持つ Schrodinger 方程式を軸とした非線形問題に対する大域的解析が順調に進展し、この研究課題の主要成果の一つとして大きな体系を形成しつつある。負の Sobolev 空間での解析や、量子効果の Zakharov 系、指数型エネルギー臨界方程式などの結果は現段階では単発的であるものの、非線形大域ダイナミクス解析を発展させる手掛かりとして大いに期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究でも当初計画通り (1)安定ソリトンを含む大域ダイナミクス (2)様々なソリトンと周辺のダイナミクス (3)新たな解の探索 (4)線形化時空評価 (5)線形化作用素のスペクトル (6)波動乱流 (7)確率波動、を課題として研究を進めるが、これまでの成果を基に(1)(4)(7)を更に発展させつつ、(2)(3)(5)(6)へ集中的に取り組む。
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