• Search Research Projects
  • Search Researchers
  • How to Use
  1. Back to project page

2017 Fiscal Year Annual Research Report

変分的手法による非局所非線形楕円型方程式の研究

Research Project

Project/Area Number 17H02855
Research InstitutionWaseda University

Principal Investigator

田中 和永  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 大谷 光春  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
小澤 徹  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
Project Period (FY) 2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords変分問題 / 非局所問題 / 非線形楕円型方程式
Outline of Annual Research Achievements

非局所項を伴う非線形楕円型方程式に対して特異摂動問題を中心に研究を行った. 一般的な非線形項を伴う場合を S. Cingolani 氏と共に研究を行い, ポテンシャル関数の極小点に凝集する解を構成すると共に, ポテンシャル関数の極小点集合の位相的性質 (cup length) により凝集解の個数を下から評価することに成功した. このような凝集解の存在結果は局所問題である非線形シュレディンガー方程式の場合に S. Cingolani 氏, L. Jeanjean 氏と共に極限方程式に対して一意性, 非退化性を仮定せずに求めているが, 今回得られた結果はその非局所問題に拡張したものである. ここでは単に結果を拡張するのみではなく, Moroz と Van Schaftingen により提示された locally sublinear case での特異摂動解の存在問題に対して肯定的な解答を与えることに成功している.
非線形シュレディンガー方程式に対する L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) に関しては Langrange formulation を用いた新たなアプローチの開発に成功した. このアプローチは古くからある制限付き変分問題に対する方法に Pohozaev の等式関連したスケーリングの手法を加味したものであるが, 従来行われてきた sub additivity 不等式を用いた方法と比べると非常に柔軟な方法であり, 非常に一般的な設定で非線形項が奇関数の場合に無限個の解が生成できる等応用の幅も大きい. この手法は非線形 Choquard 方程式等の非局所項を含む非線形問題に対する L2-制限問題へのアプローチも可能にすると思われ, さらなる発展が期待される.
なお, 研究分担者, 小澤は semi-relativisitic シュレディガー-ポアソン-スラッター方程式の ground state に関する結果, 連携研究者 生駒は非局所問題である fractional ラプラシアンをもつスカラーフィールド方程式に関する結果を得ている.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

ほぼ計画的どおりに非線形 Choquard 方程式に関する存在結果を得ることができている. 加えて sublinear case での特異摂動問題を扱う手法を開発できたことは予想以上の進展であった.
L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) に関する進展もあり, 非線形 Choquard 方程式, pseudo-relativistic 方程式等の非局所問題を扱う手法は増しつつある.

Strategy for Future Research Activity

L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) について今回新しく開発した Lagrange formulation を用いた新しいアプローチは多くの非局所問題にも応用できると考えている. 当初の計画にはなかった非線形 Choquard 方程式, 非線形 pseudo-relativistic 方程式に対する L2-制限問題にもアプローチができることがわかってきた. さらなる理論の整備と応用に取り組みたい.
ポテンシャル関数の極大点, 鞍点での凝集解の存在問題も非常に興味ある問題であり, 準線形方程式に対する応用を意識して取り組みたい. 準線形方程式に対しては極小点であってもほとんど存在結果が得られていないのが現状である.

  • Research Products

    (26 results)

All 2018 2017

All Journal Article (11 results) (of which Int'l Joint Research: 6 results,  Peer Reviewed: 11 results) Presentation (15 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 9 results)

  • [Journal Article] Semi-classical states for the nonlinear Choquard equations: existence, multiplicity and concentration at a potential well2018

    • Author(s)
      S. Cingolani, K. Tanaka,
    • Journal Title

      Rev. Iberamer. Mat.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] On the focusing energy-critical fractional nonlinear Schr\"odinger equations2018

    • Author(s)
      Y. Cho, G. Hwang, T. Ozawa
    • Journal Title

      Adv. Differential Equations

      Volume: 23 Pages: 161-192

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Higher order fractional Leibniz rule2018

    • Author(s)
      K. Fujiwara, V. Georgiev, T. Ozawa
    • Journal Title

      J. Fourier Anal. Appl.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Stability of trace theorems on the sphere2018

    • Author(s)
      N. Bez, C. Jeavons, T. Ozawa, M. Sugimoto
    • Journal Title

      J. Geom. Anal.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Existence of time periodic solution to some double-diffusive convection system based on Brinkman-Forchheimer equation in the whole space domain2018

    • Author(s)
      M. Otani, S. Uchida
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Fluid Mechanics

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Total $p$-powered curvature of closed curves and flat-core closed $p$-curves in $S^2(G)$2018

    • Author(s)
      N. Shioji, K. Watanabe
    • Journal Title

      Comm. Anal. Geom.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Multiple complex-valued solutions for nonlinear magnetic Schr\"odinger equations2017

    • Author(s)
      S. Cingolani, L. Jeanjean, K. Tanaka
    • Journal Title

      J. Fixed Point Theory Appl.

      Volume: 19 Pages: 37-66

    • DOI

      DOI 10.1007/s11784-016-0347-3

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Remarks on the Rellich inequality2017

    • Author(s)
      S. Machihara, T. Ozawa, H. Wadade
    • Journal Title

      Math. Z.

      Volume: 286 Pages: 1367-1373

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Ground states for semi-relativistic Schr\"odinger-Poisson-Slater energy2017

    • Author(s)
      J. Bellazzini, T. Ozawa, N. Visciglia
    • Journal Title

      Funkcialaj Ekvacioj

      Volume: 60 Pages: 353-369

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Erratum to: Existence of solutions of scalar field equations with fractional operator2017

    • Author(s)
      N. Ikoma
    • Journal Title

      Journal of Fixed Point Theory and Applications

      Volume: 19 Pages: 1649-1652

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s11784-017-0427-z

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Pattern formation via mixed interactions for coupled Schr\"odinger equations under Neumann boundary condition2017

    • Author(s)
      J. Byeon, Y. Sato, Z.-Q. Wang
    • Journal Title

      J. Fixed Point Theory Appl.

      Volume: 19 Pages: 559-583

    • DOI

      10.1007/s11784-016-0365-1

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] A new minimax approach to nonliear scalar field equations with L^2 constraint2018

    • Author(s)
      K. Tanaka
    • Organizer
      Seminari di Matematica, Universit\'a degli studi di Bari Aldo Moro, Bari, Italy
    • Invited
  • [Presentation] Minimax methods for scalar field equations with L^2-constraint2018

    • Author(s)
      田中和永
    • Organizer
      第12回 非線形偏微分方程式と変分問題, 首都大学東京
  • [Presentation] Infinitely many solutions for a nonlinear Schr\"odinger equation with general nonlinearity2018

    • Author(s)
      佐藤洋平
    • Organizer
      松山解析セミナー, 愛媛大学
    • Invited
  • [Presentation] Infinitely many solutions for a nonlinear Schr\"odinger equation with general nonlinearity2018

    • Author(s)
      佐藤洋平
    • Organizer
      日本数学会年会, 東京大学
  • [Presentation] Singular perturbation problem for generalized Choquard equations2017

    • Author(s)
      K. Tanaka
    • Organizer
      the Third Congress of the PRIMA, the Pacific Rim Mathematical Association
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On improved Hardy inequalities2017

    • Author(s)
      T. Ozawa
    • Organizer
      Workshop on Harmonic analysis and Nonlinear Evolution Equations
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Lifespan of periodic solutions to nonlinear Schr\"odinger equations2017

    • Author(s)
      T. Ozawa
    • Organizer
      RIMS Workshop Nonlinear Wave and Dispersive Equations
    • Invited
  • [Presentation] On some elliptic systems arising from a nuclear reactor model2017

    • Author(s)
      喜多航佑, 大谷光春, 坂本浩紀
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会, 山形大学理学部
  • [Presentation] Existence of nontrivial solutions for equations with fractional operator2017

    • Author(s)
      N. Ikoma
    • Organizer
      International Conference on Elliptic and Parabolic Problems, Gaeta (Hotel Serapo)
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On minimizing problem related to a coupled nonlinear Schr\"odinger system2017

    • Author(s)
      N. Ikoma
    • Organizer
      PRIMA2017 Nonlinear Elliptic PDEs and Systems, Oaxaca, Mexico
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Uniqueness and nondegeneracy of ground states to scalar field equations2017

    • Author(s)
      N. Ikoma
    • Organizer
      Workshop on Harmonic analysis and Nonlinear Evolution Equations, Pisa, Italy
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Existence of nontrivial solutions for equations with fractional operator2017

    • Author(s)
      生駒典久
    • Organizer
      第53回金沢解析セミナー, 金沢大学サテライトプラザ
    • Invited
  • [Presentation] A minimizing problem with two constraint conditions2017

    • Author(s)
      N. Ikoma
    • Organizer
      Scuola Normale Superiore di Pisa
  • [Presentation] Total $p$-powered curvature of closed curves in $S^2(G)$2017

    • Author(s)
      N. Shioji
    • Organizer
      International Conference on Topological Nonlinear Analysis, 広州, 中国
  • [Presentation] Uniqueness of positive solutions of the Brezis-Nirenberg problems in thin spherical annular domains and its application2017

    • Author(s)
      N. Shioji
    • Organizer
      International Conference on Nonlinear Analysis, PDEs and Applications, 済州, 韓国

URL: 

Published: 2018-12-17  

Information User Guide FAQ News Terms of Use Attribution of KAKENHI

Powered by NII kakenhi