2021 Fiscal Year Annual Research Report
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17H02855
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
黒田 隆徳 早稲田大学, 理工学術院, 講師(任期付) (00907058)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 非線形楕円型方程式 / 非局所問題 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非局所問題として非線形 Choquard 方程式を Cingolani 氏，Gallo 氏と共に考察を行った．非線形シュレディンガー方程式と異なり非線形 Choquard 方程式においては合成積に現れる非線形ポテンシャル F(u) として奇関数を考えることができる．通常扱われる偶関数の場合とは異なる状況であるが，合成積による非局所項の特徴的な点である．ここではRiesz ポテンシャル項に対する実解析的な評価を行うことにより，F(u) が奇の場合に非線形スカラーフィールド方程式に対する結果に対応する解の多重存在等を得ることに成功した．またこの結果は 2 つの非局所性を伴う問題にも拡張できる．
特異摂動問題については従来主にポテンシャル関数 V(x) の極小点に凝集する解の存在が扱われてきた．極大点，鞍点に凝集する解については結果は非常に少ない．Byeon 氏と代表者の共同研究はこのような場合を非線形シュレディンガー方程式に対して扱っているが，その方法は非常に複雑であった．ここでは関数空間に関するシフトを関数空間に組み入れたアプローチを用いる方法により証明の簡略化を行い，まず非線形シュレディンガー方程式に適用可能であることを示した．さらにこの新しいアプローチは従来 Cingolani 氏と共に開発してあった tail minimizing 法をさらに発展させ，組み合わせることにより非線形 Choquard 方程式にも適用できることを示し，本研究の大きな目標のひとつであるポテンシャルの極大点，鞍点に凝集する解の存在を非線形 Choquard 方程式に対しても得ることができた．なおこの方法は分数べきラプラシアンを伴う非線形楕円型方程式等の非局所問題に対しても適用可能である．
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| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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