2017 Fiscal Year Annual Research Report
New Developments of Dynamical Systems Theory for Diverse Mathematical Models
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17H02859
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
矢ヶ崎 一幸 京都大学, 情報学研究科, 教授 (40200472)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 秀一 金沢大学, 数物科学系, 教授 (90159905)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 力学系 / 偏微分方程式 / ハミルトン系 / 分岐 / 標準形 / 非可積分性 / ソリトン解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究を行った．
・余次元2の分岐であるfold-Hopf分岐の標準形を取りあげ，Ayoul-Zungにより拡張されたMorales-Ramis-Simo理論を用いて，ほとんどすべてのパラメータの値に対して成立する一般的な条件のもと，Bogoyavlenskijの意味での非可積分性を証明した．取りあげた力学系は，余次元2のfold-Hopf分岐が起こる力学系を単純化したものであるにもかかわらず，非可積分であるという事実は大変興味深いものである．また，余次元2のfold-Hopf分岐は，応用分野に現れる，常/偏微分方程式系で与えられる多くの数理モデルでも起こることが知られており，得られた結果は応用の面からも重要である．
・摂動を受ける無限次元ハミルトン系の形の非線形偏微分方程式において，非摂動系が有する対称性が摂動によって失われる状況を考え，相対平衡解のサドル・ノード分岐およびピッチフォーク分岐が起こるための十分条件を与え，これらの分岐に関連した相対平衡解の線形安定性を理論的に決定した．得られた理論結果を，光通信など応用の分野でも重要な，ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式のソリトン解に適用し，数値解析や数値シミュレーションの結果と比較するなどして，その有用性を明らかにした．また，得られた結果は非線形偏微分方程式における局在パターン形成の問題への応用に発展が期待されるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究成果を得ている.
・余次元2の分岐であるfold‐Hopf分岐の標準形に対してBogoyavlenskijの意味での非可積分性の証明；摂動を受ける無限次元ハミルトン系となる非線形偏微分方程式に対して相対平衡解の分岐および安定性に関する手法の確立
また，最終的な結果は得られていないものの，以下の研究も行っている．
・サドル・センター型の平衡点を有する反転可能系に対してカオス軌道の存在を証明するための手法の確立および非可積分性との関連性の解明；光ファイバ・センサのひとつであるファイバ・ブラッグ・グレーティングのモデルを含む非線形偏微分方程式におけるパルス波の安定性の決定；自明な平衡点を有する，確率的な摂動を受ける系に対して，確率1でのカオス軌道の存在を証明するための手法の提案；非線形シュレディンガー方程式における高周波数振動成分へのエネルギー遷移現象に対するハミルトン系あるいは保存系の立場からの解析；複雑なネットワークの数理モデルを与える，複数のグラフに依存する結合振動子系に対して連続極限の手法の有効性の証明
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| Strategy for Future Research Activity |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して，最終的な結果が得られていない問題の解決に努めるとともに，以下の研究を行う．
・4次元以上の反転対称系において，対称周期軌道の1パラメータ族の分岐と対称周期軌道の安定性に関する新しい理論を構築する．分岐についてはこれまでにパラメータの稠密な値において分岐が起こる具体例を与えるなど大きな研究成果が得られているが，本研究では，分岐により発生した対称周期軌道の安定性を摂動論的なアプローチにより決定する．
・あるクラスの非線形連立偏微分方程式を取りあげ，反転対称性をもつ常微分方程式系におけるサドル型のホモクリニック軌道に対応したパルス解の分岐と安定性を解析するための手法を提案する．
・第一積分あるいは可換なベクトル場を有する系が摂動を受ける場合を取りあげ，第一積分あるいは可換なベクトル場が保存するための条件を明らかにする．
・遅れフィードバック制御を受ける系を取りあげ，周期解や爆発解の存在および関連する分岐現象を明らかにする．
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