2021 Fiscal Year Annual Research Report
New Developments of Dynamical Systems Theory for Diverse Mathematical Models
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17H02859
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
矢ヶ崎 一幸 京都大学, 情報学研究科, 教授 (40200472)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 秀一 神奈川大学, 工学部, 教授 (90159905)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 力学系 / 可積分性 / 偏微分方程式 / ソリトン / 逆散乱法 / 結合振動子系 / 最適制御 / 時間遅れ系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究を行った．
・Bogoyavlenskij可積分な系の摂動系に対して実解析的あるいは複素有理型関数的に非可積分性を判定するための手法を提案した．特に，提案した手法を用いて，主質量の質量比が任意の場合に対して古典力学の制限3体問題が非可積分であることを証明した．また，周期的摂動を受ける1自由度ハミルトン系に適用し，周期軌道の存在や分岐および横断的なホモクリニック軌道の存在を証明するための有力な解析手法であるMelnikovの方法との関連性を明らかにした．さらに，周期外力の作用するDuffing系や単振り子に適用し，理論結果の有用性を確認した．
・共鳴度が2のPoincare-Dulac標準形をもつ力学系が解析的に非可積分であるための十分条件を与えた．その目的のため，摂動系や平面ベクトル場の可積分性に関する新たな理論を構築した．また，Morales-Ramis理論を適用し，ほとんどすべてのパラメータの値に対して感染症の数理モデルであるSEIR系の非可積分性を証明した．
・KdV方程式などの可積分偏微分方程式に対して逆散乱法を適用する際に重要な役割を果たす，変数係数線形系であるZakharov-Shabat系を取りあげ，ある制限の下で，微分ガロア理論の意味で可積分となるためには，ソリトン解の初期条件となるような無反射ポテンシャルであることが必要十分であることを証明した．さらに，ポテンシャルが有理関数となる場合等へ理論を拡張した．
・重複零固有値をもつ余次元2の分岐現象を示す対称な力学系が周期的な摂動を受ける場合を取りあげ，そこで発生する分岐現象を理論的に明らかにした．周期的な目標軌道をもち，フィードバック制御を受ける単振り子に適用し，理論結果を数値計算結果と比較してその有用性を確認した．
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| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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