2021 Fiscal Year Annual Research Report
古典および量子統計的システムにおける新規な情報幾何構造の探究
| Project/Area Number |
17H02861
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
藤原 彰夫 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30251359)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 譲 北海道大学, 電子科学研究所, 准教授 (30342794)
杉田 洋 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (50192125)
長岡 浩司 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 名誉教授 (80192235)
山形 浩一 国立情報学研究所, 情報学プリンシプル研究系, 特任准教授 (30743520)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 情報幾何学 / 局所漸近正規性 / Chentsovの定理 / 統計多様体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
確率分布空間の微分幾何構造の研究に源を発する情報幾何学は，様々な分野で応用され成功を収めてきたが，その理論体系自体は未だ発展途上であり，重要な未解決問題が数多く残されている．本研究では，量子局所漸近正規性に係わる情報幾何構造の研究，およびランダム力学系に内在する情報幾何構造の研究を２本の柱として位置づけ，研究を推進する．またこれと並行して，従来の情報幾何学では扱われなかった新規な研究対象を発掘し応用する．そして，こうした研究を通じ，統計数学における幾何学的方法の体系化を目指す．
本年度は，研究代表者らの先行研究（Bernoulli, vol. 26 (2020) 2105-2142）で展開した非可換contiguity理論をベースに，量子LANにおける漸近的表現定理の研究に挑戦した．「量子漸近的表現定理」なるものがあったとすると，それは量子LANモデル列と(古典)分布収束するPOVMの列が与えられたとき，その極限分布を与えるPOVMが極限量子Gaussianシフトモデル上に存在することを主張するものとなるはずである．しかし，量子統計的モデルの列が単に量子LANであるというだけでは，そのような極限POVMは必ずしも存在しない（反例が構成できる）ことが本年度の研究過程で明らかとなった．そこで本研究では，漸近的表現定理を成立させるための付加条件についても研究し，量子漸近的表現定理の完成に向けての道筋が得られた．
本研究ではさらに，情報幾何学の基本定理の一つであるChentsovの定理を，連続な確率密度関数を持つ統計的モデルに拡張する方法についても検討した．そして，甘利・長岡の教科書に着想が述べられている「有限分割からなる事象系の有向族」に関する極限操作を用いてFisher計量やα-接続を特徴づける論法を厳密に基礎づけることに成功した．
|
| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
