2018 Fiscal Year Annual Research Report
Fixed point properties on Busemann Non-positively curved spaces, expanders, and generalizations
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17H04822
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
見村 万佐人 東北大学, 理学研究科, 准教授 (10641962)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | エクスパンダーグラフ / 剛性 / 固定点性質 / コンパクト群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成30年度は、離散群の剛性を Lubotzky と Weiss の問題との関係から研究した。Lubotzky と Weiss は、「コンパクト（距離化可能）群が、従順なものと Kazhdan の性質 (T) をもつものの 2 つの有限生成稠密部分群を許容するとき、もとのコンパクト群は有限群（従って、これら 3 つの群は全て等しくなければならない）ではないか？」と予想した。この予想は、剰余有限群の有限群による近似により、特定の有限群の列においてそのマークの列の取り方を変えた際の付随するケイリーグラフの列の性質（例えば、強い意味でエクスパンダーグラフになっているか、など）と関係する。Lubotzky と Weiss の予想は、Ershov と Jaikin-Zapirain によって否定的に解決された。報告者は、性質 (T) をはじめとする群の剛性の研究を推し進めることにより、次を示した。まず、可算濃度をもつ剰余有限群が与えられたとき、この群を部分群として含み性質 (T) をもつような剰余有限群を構成できる。この構成をもとに、上記の Lubotzky と Weiss の予想において、ある 1 つの（明示的にかける）副有限群が存在し、その 2 つの有限生成稠密部分群で 1 つは従順であり、もう一つは与えられた可算剰余有限群を部分群として含み、性質 (T) やより強い固定点性質をもつようにできることを示した。特に、Osajda の結果を用いると、後者の有限生成稠密部分群は C^*-環の意味で exact 群でないようにとることができる。可算濃度をもつ従順群、線型群やコンパクト曲面の写像類群は全て exact であり、exact でない群は病的な群と捉えられている。そのため、上記 2 つの有限生成稠密部分群の群性質は極めて対照的である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限群の列に対し、それらのマークの列を適切に設定することによりエクスパンダーグラフを構成できるか、という問題は、有限生成離散群の（性質 (T) などの）剛性と大きく関係する。平成30年度は、このときの有限生成離散群として、報告者が研究を進めていた有限生成単位的環上の基本行列群を考えると上記の問題と Lubotzky と Weiss の予想を強く関係させることができる、ということを発見した。特に、基本行列群の係数環として有限生成の有限体上の群環をとることで、Lubotzky と Weiss の予想の非常に強い意味での反例を構成できることを示した。基本行列群の係数環として行列環を用いる応用は以前から知られていたが、病的な有限生成群の群環のようなより複雑度の高い非可換環を用いるというアイディアは、報告者の固定点性質に関する研究から生まれたものである。
以上の研究によって構成することのできたエクスパンダーグラフは、生成系の取り換えや付随する副有限作用に関しても著しい性質をもっている。このような構成が可能になったため、本研究の進展は順調であると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度の研究は、有限群の列に関する漸近的な解析を行なうことによって得られた。今後の研究を進めるにあたり、今までの研究で用いてきた有限生成無限群の剛性の研究に加えて、有限集合における極値組合せ論を活用することを考える。近年のエクスパンダーグラフの新しい構成では、Bourgain と Gamburd による機構が用いられる。その背景には、Balog と Szemeredi、および Gowers による極値組合せ論の結果がある。このような有限構造の理解を進めることで、有限群の列からのエクスパンダーグラフや興味深い副有限作用の構成を行なう予定である。また、極値組合せ論の Szemeredi の定理はラムゼー理論の大きな金字塔である。Bourgain はラムゼー型の結果をグラフの距離埋め込みに応用している。このような観点からも、粗い幾何（coarse geometry）や剛性と極値組合せ論の関連についても研究を進めたい。
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