2019 Fiscal Year Annual Research Report
Fixed point properties on Busemann Non-positively curved spaces, expanders, and generalizations
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17H04822
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
見村 万佐人 東北大学, 理学研究科, 准教授 (10641962)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ラムゼー型現象 / 極値組合せ論 / Green-Taoの定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和1年度は、エクスパンダーグラフ列の構成と関係する極値組合せ論の問題についての研究を進めた。極値組合せ論の重要な結果として、「(有理整数環での）素数全体の集合は任意の有限長の非退化等差数列を含む」という Green--Tao の定理が挙げられる。この定理はランクが1の自由整数加群の疎（上漸近密度が0である）な集合上のラムゼー型現象の一種と思える。Green--Taoの定理の自然な多次元化の一つとして、代数体の整数環を全空間とし、その中で素元全体の集合のもつ組合せ論的な現象を考えることができる。Taoが代数体が有理数体に-1の平方根を添加した体のとき、つまり、ガウス整数環の素元全体の集合での組合せ論的な現象に関し、Green--Taoの定理の多次元化にあたる主張を証明した。Taoの証明では、考えている代数体の類数が1であること（同値なこととして、整数環が分解可能整域であること）および、単数群が有限群であることの2つがともに重要な仮定であった。
本研究では、東北大学の甲斐亘氏、宗政昭弘氏、関真一朗氏、吉野聖人氏との共同研究で、代数体に関する類数と単数群の仮定をともに取り外すことに成功した。従って、Green--Taoの定理の多次元化を、全ての代数体の設定で得ることに成功した。この際、類数の障害を元の設定をイデアルの設定に移行することで、単数群の無限性による困難を単数群のかけ算作用に関する「ノルム・長さが相容れる基本領域（norm-length compatible fundamental domain）」をとることでそれぞれ解消した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
エクスパンダーグラフ列の構成の中で比較的新しい方法として、極値組合せ論を用いる手法がある。これは、BourgainとGamburdによって発展した主張で、リー群の格子の指数無限の部分群となる自由群などから作られるグラフ族にも適用しうる。指数無限の部分群は「痩せた部分群（thin group）」と呼ばれ、その解析は従来は困難であった。今回、極値組合せ論の研究を進めることで、ラムゼー型現象での結果を得ることができた。より詳しくは、Green--Taoの定理の多次元化として一般の代数体への拡張を行なうことができた。ラムゼー型現象の多次元化ではランクが2以上の自由整数加群を全体空間とするが、本結果以前はその整数加群としての構造のみを考えていた。本研究でこのような加群として代数体の整数環を扱ったが、整数環は単なる整数加群ではなくより豊かな構造をもっている。これにより、多次元版のラムゼー型現象に関して新たな研究の方向が開けると予想される。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和1年度の研究では、Green--Taoの定理の強い形の完全な一般化を全ての代数体で得られている訳ではない。より具体的には、Green--Taoの定理は有理素数全体の集合だけではなく、その相対的上密（相対的上漸近密度が正である）な部分集合でも任意の有限長の非退化等差数列の存在を得ている。この結果は、例えば非退化で原始的で負定値ではない整数係数の2元2次形式を固定したとき、その形式で表現される素数全体の集合にも適用できる。本研究では「ノルム・長さが相容れる基本領域（norm-length compatible fundamental domain）」に制限したときにその中で相対的上密な素元の集合に関しては主結果が拡張できる。基本領域をとらない設定を上記のような基本領域をとる設定に帰着をする、という方針で、素元全体の集合の相対的上密な一般の部分集合に主定理を拡張したい。
また、代数体として2次体を考えることで、非退化・原始的であって負定値ではない整数係数の2元2次形式に関し、素数を表現するときの入力の整数の組に関するラムゼー型現象を得ることができると期待される。しかし、この際、一般の係数の場合は判別式に4以外の平方因子が含まれる場合には、整数環とは限らない整環やその可逆イデアルを扱う必要が生じる。このような、代数体とその整数環の組を超えた枠組みにも研究を進めていきたい。
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