2017 Fiscal Year Annual Research Report
Well-posedness for the nonlinear partial differential equations in critical spaces
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17H04824
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ナヴィエ-ストークス方程式 / 圧縮生 / ベソフ空間 / 自己相似解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
順圧性を課した圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式の初期値問題を考察して、初期値に対する解の適切性が得られるか否かの境目の正則性を明らかにすることができたと考えている。とくに移流項だけでなく準線形項から特異的な挙動が現れて、解が初期値の変動に関して不連続であることを示した。既存の結果では移流項からくる特異性に焦点を当てたものが多かったが今回の結果によってそれ以外にも重要な項が存在することがわかった。
温度も考慮した圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式に対して自己相似解の存在について一定の結果を得ることができた。密度、速度、温度に関して空間遠方において方程式の尺度不変性から定まる自然な減衰を課した解を得ることができた。既存の結果では別のスケール則を持つ場合などに自己相似解の非存在が示されている。この解は密度は正の値をとりエネルギークラスには属さない解であるが既存の手法では捉えることができなかったものである。
一般領域上の関数空間論の研究を進めて双線形評価式を得ることができたが、それと同時に領域の形状に応じて評価式が得られるような正則性に違いが現れることもわかった。可積分空間に近いような関数空間において双線形評価式を得ることができたと考えている。加えて、一般領域上の熱方程式についてベソフ空間という枠組みで半群の評価式を導出することができた。ユークリッド空間においてはよく知られた評価式であるが開集合という最も一般的な設定において同様の評価式が成立することがわかったと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式についてはこれまで自己相似解について肯定的な結果は全く知られていないが、今回特殊解を得ることができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
順圧性を課した圧縮性ナヴィエ-ストークス方程式の不適切性の結果を発展させて、温度も考慮した場合の方程式の可解性を研究する。領域上の関数空間論として半空間などの典型的な場合から考察していき偏微分方程式へ応用することを目指して研究を推進する。
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