2020 Fiscal Year Annual Research Report
Well-posedness for the nonlinear partial differential equations in critical spaces
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17H04824
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | スペクトル分解 / Besov空間 / 圧縮性Navier-Stokes方程式 / 非適切性 / 自己相似解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
圧縮性Navier-Stokes方程式に対して, 順圧性の場合と、温度付きの場合についてそれぞれ非適切性の結果を得ることができた. 順圧性の場合に関しては, 空間3次元以上を考えてスケール臨界でかつ可積分指数が空間次元の2倍である場合に非適切性を証明した。移流項と準線形項からなる特異性を見出すことができた. 温度付きの方程式に関しては空間２次元の場合にスケール臨界空間で負の正則性の場合には適切性が期待できないことがわかった. 空間2次元の特殊性を明らかにすることができた.
理想気体に対する圧縮性Navier-Stokes方程式に対して, 自己相似解の存在を証明することができた. 得られた結果は空間3次元以上に対するもので, 球対称性をもつような場合となっている。さらには原点で真空が現れるような解を構成することができた. この解は既存の枠組みでは捉えることができない特徴的なものとなった.
有界領域上の準地衡方程式の解の存在定理について研究した. 特に分数べきラプラシアンを有している場合のうち, 非線形項と微分可能性が釣り合う臨界型の場合を考える. 全空間や半空間の場合を明らかにすることから始め, 全空間と半空間の場合には十分な正則性をもつ初期値であれば解の爆発は起こらずに時間大域解が存在することと証明を明らかにすることができた. 有界領域上の場合には, 小さい初期値に対する時間大域解の構成を行うことができた. 特に全空間で行われている周波数の2進数分解に基づく方法をスペクトル分解に基づく方法に置き換えて, 証明可能であることを示した. 技術的には分数べきラプラシアンに対する関数の最大点での下からの評価, 加えて, 流れ方向の微分とスペクトルを制限する作用素との交換し評価である.
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| Research Progress Status |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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