2018 Fiscal Year Annual Research Report
Characterizations of Galois representations associated to Hilbert modular forms
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17H07074
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
吉川 祥 学習院大学, 理学部, 助教 (10803736)
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2017-08-25 – 2019-03-31
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| Keywords | 楕円曲線 / 保型形式 / Galois表現 / ラングランズ対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、楕円曲線の保型性に関する研究である。楕円曲線の保型性という性質は、楕円曲線（代数幾何的対象）が実は保型表現（解析的・表現論的対象）と対応しているという性質である。全ての楕円曲線は保型性を持つことが予想・期待されており、この予想は整数論におけるより大きな枠組みであるFontaine-Mazur予想やLanglands対応の一部分として位置づけられている。
保型性を示すための有用な道具として、保型性持ち上げ定理という手法がある。Wilesのフェルマー予想解決以降、様々なタイプの保型性持ち上げ定理が証明されてきており、それに従い、多くの楕円曲線の保型性も証明されてきた。しかし、未だ「全ての」楕円曲線の保型性が証明されたわけではない。
この状況のなか、研究代表者の吉川はより多くの楕円曲線について保型性を示すことを目指してきた。本研究以前に得た結果としては、次が挙げられる：有理数体上アーベル拡大である総実代数体（＋適切な分岐条件）を定義体にもつ楕円曲線は保型性をもつ。
本研究はこの結果をさらに進めるためのものであり、定義体に関するアーベルという強い仮定を緩めることが主な目的だった。2013年に実二次体上で定義された楕円曲線の保型性が示されたことを踏まえ、本研究の当初の予定では、低い次数の定義体に絞って楕円曲線の保型性を示そうと考えていた。しかし幸運なことに、次数に関係なく以下のような結果が得られた：定義体に対して13または47を割る素点vにおいて適切な分岐条件を課せば、定義体が有理数体上アーベル拡大という仮定が無くても、vで潜在的に良還元を持つ楕円曲線はすべて保型性を持つ。
今後、ここで得られた結果を踏まえて、13や47に関する条件を緩めることを目指したい。
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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