2018 Fiscal Year Annual Research Report
Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ型の２種走化性方程式系の数学解析
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17J00101
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
水上 雅昭 東京理科大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形放物型方程式 / 走化性方程式 / Lotka-Volterra競合モデル / Navier-Stokes方程式 / 解の有界性 / 解の挙動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では, 近年活発に研究されている走化性方程式と古くから研究されているLotka-Volterraの競合モデルの関係を調べるために, この2つの問題を組み合わせたLotka-Volterra型の2種走化性方程式について扱う. 特に, Lotka-Volterra型の2種走化性方程式の時間大域解の存在や解のふるまいを明らかにすることが主なテーマである. しかし, 走化性項や競合項による影響により, 大域解の存在や解の挙動を導くエネルギー関数やLyapunov関数などの存在は知られておらず, 研究が難航していた. そこで, 本研究では特別な場合において研究を行い, 次のような結果を得た:
1. Paderborn大学のTobias Black氏とJohannes Lankeit氏との共同研究で, 感応性関数をもつ走化性方程式の解の挙動を決定した. 2. Paderborn大学のTobias Black氏とJohannes Lankeit氏との共同研究で, 感応性関数をもつ流体とカップリングした走化性方程式の時間大域的一般解と呼ばれる解の存在を示した. 3. 東京理科大学の来間俊介氏との共同研究で, 非線形拡散とロジスティック項をもつ流体とカップリングした走化性方程式の時間大域的弱解の存在を示した. 4. 放物・放物型走化性方程式の解と放物・楕円型走化性方程式の解の関係を特別な場合に明らかにした.
上記の成果については, 国際会議「The 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications」や「日本数学会」などの国内外の研究集会等で発表し, 論文としてもまとめて国際専門誌に投稿した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2018年度は, 両方の生物の競合が強い場合や走化性の力が強い場合の大域解の存在及び解のふるまいを得ることを目標とした. しかし, これらの場合は, 特別な場合においても難問として知られており, 既存の方法では扱うことが難しい. そのため, この2つの場合を扱う足掛かりとして, 特別な場合において新たな手法を確立することを目指して研究を行い, 次の成果を得た:
1. 新たなエネルギー関数を導入することにより, 走化性の力が弱いという条件の下で感応性関数をもつ走化性方程式の解の挙動を決定した. 今回のエネルギー関数は2種走化性方程式には適用できないものの, 「新しいエネルギー関数を構成する」という方針は2種走化性方程式の解の挙動を検討する際の重要な指針となると考えている. 2. 感応性関数をもつ流体とカップリングした走化性方程式の時間大域的一般解という弱い解のクラスを新たに提唱し, 2次元において走化性の小ささの制限を外して時間大域解の存在を示した. この結果は, 今後走化性の力が大きい場合における解の存在を扱う際の足掛かりとなる結果である. 3. あるエネルギー関数の評価から得られる新たな評価に着目し, パラメータに対する制限を課さずに非線形拡散をもつ流体とカップリングした走化性方程式の時間大域的弱解の存在を示した. 4. 放物・放物型走化性方程式と放物・楕円型走化性方程式の関係を考察することにより, 2つの方程式の関係を調べる際に有効な新たなアプローチを見出した.
上記の結果は, Lotka-Volterra型の2種走化性方程式について扱う際の土台となる結果である.
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| Strategy for Future Research Activity |
2018年度の研究を基に, 以下の研究を行う:
1. 「新たなエネルギー関数を構成する」という方針に基づき, 走化性の力が大きい場合の解のふるまいを明らかにすることを目指す.
2. 時間大域的弱解や時間大域的一般解などの弱い解の存在に関する知見を用いて, 走化性の力が大きい場合の時間大域解の存在を示す.
3. 上記の1,2の研究及び解の関係を導出する手法の知見を基に2種走化性方程式とLotka-Volterraの競合モデルの関係を導出する.
また, 得られた結果は国際会議「Equadiff 2019」や日本数学会などの国内外の研究集会で報告し, 専門家の意見を伺うことで研究の推進を図る.
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