2017 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
17J00227
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
菊田 康平 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
|
| Keywords | 導来圏 / エントロピー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
圏論的力学系の不変量であるエントロピーについて研究を行った．
非特異射影多様体の自己同値函手のエントロピーに対して，古典的なGromov-Yomdinの定理の自然な圏論的類似としてGromov-Yomdin型等式が成り立つと予想して研究に取り組んだ．実際いくつかの場合で等式が知られている．しかしY-W．Fan氏と大内氏により，K3曲面や偶数次元のCalabi-Yau超曲面の自己同値函手の場合に反例が構成された．そこで「どのようなクラスの自己同値函手がGromov-Yomdin型の等式を満たすか」という問いが自然に出てくる．上記の反例の構成法より，一定の理解は深まったが本質的な理解は得られていない．
代数多様体の自己有限射から定まる圏論的エントロピーと自己射の周期点上の局所力学系に対して定まる局所エントロピーに関する基本的な不等式を証明した．局所エントロピーは局所環上の有限局所自己射に対して定義される量である．特に複素(局所)力学系において重要な対象である超吸引的周期点を環論的に一般化したcontractingな自己射に対して有用である．例えば局所エントロピーを用いた，Kunzの定理のcontractingな射の場合の一般化が知られている．上記の不等式の応用として，代数多様体の自己射の周期点が特異点となることの十分条件を，圏論的エントロピーを用いて数値的に与えた．得られた成果をいくつかの講演で紹介した．講演で非可換環に対するFrobenius函手のKunz型の定理について有益なコメントを頂き，現在検討段階にある．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Gromov-Yomdin型の等式に関しては，エントロピーに関して古典的振る舞いと圏論的振る舞いが異なることが明らかになった．これから更なる研究が必要である．
また代数多様体の自己射の周期点上の局所エントロピーと比較することで，圏論的エントロピーの新たな側面の研究も進んでいる．
|
| Strategy for Future Research Activity |
引き続き圏論的エントロピーの研究を進めるとともに，三角圏の安定性条件の空間などの興味深い対象との関連性も深めていきたい．
|
