2018 Fiscal Year Annual Research Report
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17J00466
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
鈴木 航介 広島大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 準モンテカルロ法 / 格子則 / テント変換 / デジタルネット / t値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究１：2進デジタル列の分類
昨年度の研究では、トーズワース型の準乱数列の連続3項からなる点集合でt値が0となるものは存在しないことを示した。本年度はこの研究を発展させ、オーストリアの共同研究者とともに、トーズワース型に限らない任意のデジタルネット構造を持つ点列のt値が0となる条件を研究した。とくに、1次元デジタル列および2次元2進デジタル列のt値が0となる必要十分条件を明らかにした。これまでのデジタルネットの研究では、主にt値の小さい点集合や点列を構成することが行われてきた。本結果はそれとは異なり、t値が0という最良の条件をみたすようなデジタル列には特殊な構造が要求されるということを明らかにする組合せ論的な結果である。定理の系として、すべての2進デジタル(0,2)列はFaure列という点列にスクランブルと呼ばれるｔ値不変な変換を施したもので得られるという興味深い結果を得た。
研究２：格子則へのテント変換の有用性
格子則は周期的な関数の積分値をうまく近似するような数値積分則である。しかしながら、周期的でない関数に対しては、高々サンプル点の個数Nの逆数に比例する程度の速度でしか積分誤差が収束しない。周期的でない関数をうまく積分するために、テント変換と呼ばれる変換を格子則に施したテント変換格子則がこれまで考察されてきており、次のモンテカルロ的な結果が知られていた：最初によい格子を選べば、ランダマイズされたテント変換格子則の積分誤差は平均的におおよそN^2の逆数で収束する。私は、共同研究者らとともに本問題の脱乱択化に成功した。つまり、周期的でない2階のソボレフ空間に対し、ランダマイズを行うことなくおおよそN^2の逆数で積分誤差が収束するようなテント変換格子則の構成アルゴリズムを与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）乱択化が必要だと考えられてきたテント変換格子則が、実は乱択化なしでもよい性能を発揮できるという理論を確立し、数値実験でその理論が確認できた
（２）準モンテカルロ法で非常によく使われるデジタルネットのよさを測る量t値についての、新しい視点からの研究に取り組むことができた
これらのような準モンテカルロ法の理論とその応用に関する成果が得られたので、研究が順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画で述べた脱乱択化アルゴリズムのうち、準モンテカルロ法については順調に研究が進展しており、本年度も格子則やデジタルネットの研究を深める。一方で、マルコフ連鎖モンテカルロ法の脱乱択化については、トーズワース法で生成された点列のt値に関する非存在性という知見のみが得られている。格子点列などのデジタルネットでない点列の利用などの新規のアイデアでこの課題を解決できないか研究する。
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