2017 Fiscal Year Annual Research Report
代数的基本群のメタ・アーベル商とp進ゼータ関数の研究
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17J01827
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
佐久川 憲児 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数多様体の相対的冪単基本群 / p進ホッジ比較定理 / Noriモチーフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017年度は主に以下の二つの結果を得た: 1. p進体上半安定還元を持つ点付き代数多様体の冪単基本群に対して, p進ホッジ比較定理を得た 2. モジュラー曲線の相対的冪単基本亜群の, Arapuraの意味でのモチーフ的層を用いた構成を得, 更にその最大混合楕円商の実現函手に対しての両立性を示した.
本研究の目的は, 代数体上定義された代数曲線の基本群の「メタ・アーベル商やエタール結
合子」と, 「p進ゼータ又はその一般化」の関係を明らかにすることであった. そのプロトタイプとして, 当該研究員, 中村博昭氏, Zdzislaw Wojtkowiak氏により, 「良還元を持つ」穴あき射影直線由来の上記二つの対象物を結びつける, ポリログ的Coleman・伊原等式(PCI等式)と呼ばれる等式が証明されていた. この等式を一般化するというのが大ざっぱに言って本年度の目標の一つであった.
1. PCI等式の証明で重要であったのは, 良還元を持つ点付き代数多様体の冪単基本群に対するp進ホッジ比較定理であった. この比較定理を半安定還元の場合まで拡張することにより, PCI等式を半安定還元の場合まで拡張できた. また, 1の結果の応用として, サントミックレギュレータの計算に関するBesserとde Jeuの予想を解決した.
2. 代数多様体として穴あき楕円曲線を一つ固定し研究する予定であったが, その族であるモジュラー曲線とその上の普遍楕円曲線について研究する方が情報が得られると考え研究を行った. 2の結果はその相対的冪単基本群がモチーフ的構造を持つことを意味する. PCI等式は, 穴あき射影直線のモチーフ的構造の「異なる実現達の関係」であることが当該研究員により示されていたことを思い出せば, この結果はPCI等式のような現象の本質的な部分にかかわる結果と考えられる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では特別な代数多様体, 主に虚数乗法を持つ楕円曲線から一点を抜いて得られる多様体について調べる予定であった. 従って当初の計画が順調に消化されているとは言えないが 代わりにかなり一般的な状況下で冪単基本群に対するp進ホッジ比較定理を得た. この結果は, PCI等式を得る際の良還元を持つ点付き代数多様体の冪単基本群に対するp進ホッジ比較定理の重要性を鑑みれば,明らかに虚数乗法を持つ楕円曲線から一点を抜いて得られる多様体の代数的基本群のメタ・アーベル商を研究するのに役立つ. それどころか, より一般の代数多様体の代数的基本群のメタ・アーベル商の研究を行う際にも基本的な道具となることが期待される. モジュラー曲線の相対的冪単基本群の研究は, 当初は全く想定していなかった研究であり, これもまた計画通りにすすんではいない. しかし, 本研究は「代数的基本群」と「p進L関数」との関係を調べることが目標であったことを鑑みれば, モジュラー曲線を考えるのは自然である. その結果, モジュラー曲線の相対的冪単基本群はモチーフ的であることが示せた. この成果は, PCI等式のような純粋に局所体上の結果よりも強い情報をもたらすと期待される.
まとめると, 計画通りには研究は進んでいないものの, 本研究の目的を見失わずに一般的な結果を得ることができており, このことから計画はおおむね順調に進んでいると判断できる.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は, 1. 相対的冪単基本群に対しするp進ホッジ比較定理の応用 2. モジュラー曲線の相対的冪単基本亜群の研究の推進 を中心に進めていきたいと思う.
1については, PCI等式の楕円曲線版について研究を開始する. 特にCM楕円曲線の場合に公式を得ることを目指す.
2については, ① 大域的結果の探求② p進実現の研究 を行う予定である. ①では, 相対的冪単基本群の大域的なガロワ構造やホッジ構造, 及びそれらの関係について研究を行う. ②では, 相対的冪単基本群のp進解析的な側面について研究を行い, 当初の目的であるp進L関数と基本群の関係について研究を行う.
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