2017 Fiscal Year Annual Research Report

Development of a new analysis technique to investigate continuous dynamical systems

Research Project

Project/Area Number	17J03931
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	須田智晴京都大学, 人間・環境学研究科, 特別研究員(DC1)
Project Period (FY)	2017-04-26 – 2020-03-31
Keywords	ヘルムホルツ・ホッジ分解 / リアプノフ関数
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は，一般次元における自励的な常微分方程式系の解の挙動について，ベクトル場を散逸成分とその他の成分に分けるHelmholtz-Hodge分解を適用することで解析する方法を開発することである．本年度はこの目標に関連して，次のような結果を得た．まず，R^n上のベクトル場の漸近安定な平衡点に関してHelmholtz-hodge分解を用いてLyapunov関数を構成するための必要条件を，ある種の最適化問題として定式化できる形で得た．このLyapunov関数が構成できればその平衡点近傍での解の挙動はかなりの程度判明するため，これは有用な結果である．また，厳密に直交する分解を持つベクトル場について，その力学系的な性質が容易に解析できることを明らかにした．Helmholtz-hodge分解に関する従来の研究では，分解がL^2の意味で直交することを条件として課すことがしばしばあったが，これだけではあまり元のベクトル場の性質を反映せず，力学系的な性質を調べる上では都合が悪かった．この結果はその点を改良したとも言えるが，一方で厳密に直交する分解は常に存在するとは限らないため，応用の範囲は限られる．加えて，厳密に直交する分解が，先行研究で用いられていた境界条件とある状況下では矛盾しないことも示した．さらに，境界条件とHelmholtz-hodge分解の性質との関連についても，2次元平面の場合について考察を行い，境界条件のFourier係数と分解を定義する関数の微分との関係を与える公式を得た．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 当初の計画では，初年度は２次元の場合に得られていた結果をより高次元に拡張することができるかどうかを検討する予定であった．また，先行研究の分解の特徴を調べることも予定していた．しかし，本年度は２次元の場合に得られていた結果を実際にn次元の場合に拡張することに成功した．さらに，ベクトル場の性質を具体的に調べるための方法を与える結果も得られた．また，かなり一般的な境界条件に対し，それを課すことで得られる分解の特徴を調べる方法も発見した．以上の理由により，本年度は研究が当初の計画以上に進展していると判断した．
Strategy for Future Research Activity	本年度は今までに得られた結果をもとに，さらなる一般化と具体的な数値解析の方法を構成することを試みる．それぞれについて以下に詳述する．まず，Helmholtz-Hodge分解によるLyapunov関数の構成について，昨年度得られた平衡点に関する結果を，極限集合がそれ以外の形の場合に一般化することを試みる．特に，二次元平面上の安定周期軌道について同様の解析が可能かを考察する．．さらに，昨年度に得られた平衡点に関する結果をもとに，Lyapunov関数を数値的に構成する方法についての研究を行う．ある種の最適化問題を解くことによりLyapunov関数を構成できることはわかっているため，この最適化問題の解の存在や，最大の場合にどの程度よいLyapunov関数が得られるのか，といった点について考察を行う．以上の研究の成果については，本年度中に論文にまとめたうえで投稿したいと考えている．また，研究成果については数回程度，国内学会等で発表を行う予定である．