2018 Fiscal Year Annual Research Report
Development of a new analysis technique to investigate continuous dynamical systems
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17J03931
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
須田 智晴 京都大学, 人間・環境学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | Helmholtz-Hodge分解 / Filippovベクトル場 / 区分的に連続な右辺をもつ常微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はHelmholtz-Hodge分解を用いてLyapunov関数を構成する数値的な手法に関連して，標記の研究課題はもちろん，より幅広い文脈で有用な結果が得られた．従来提案されている数値的な手法は，離散的なベクトル解析に依存しているが，これは本質的にベクトル場を区分的に定数とみなして扱うものであり，その点に起因する困難がある．すなわち，定数とみなす領域の縁での値をどのように定めるのかという問題である．これは本質的に区分的に連続な右辺をもつ常微分方程式の解をいかに定めるべきかという問題である．これについては従来，Filippovの方法と呼ばれる補間法がしばしば用いられていたが，その正当性については長年明らかでなかった．しかし，今回，この方法が極めて自然であり，事実上それ以外の方法が存在しないことを見出した．このことにより，一つの問題点であった離散化とHelmholtz-Hodge分解との関係について考察が進んだ．のみならず，この結果は区分的に連続な右辺をもつ常微分方程式の研究という観点からも非常に有意義であり，極めて大きい成果と考えられる．この結果に関しては現在論文を投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は，一般次元における自励的な常微分方程式系の解の挙動について，ベクトル場を散逸成分とその他の成分に分けるHelmholtz-Hodge分解を適用することで解析する方法を開発することである．その具体的な方針として，平衡点や周期軌道の安定性を解析するために用いられる，Lyapunov関数をHelmholtz-Hodge分解から構成する一般的な方法と，それに基づく数値解析の方法を構築することを目指していた．この点に関して今年度までに，Lyapunov関数が構成できるための必要条件と具体的な方法を得ている．また，その数値的な構成についても成果を得ている．さらにその研究の途中で，Filippovの方法の特徴づけという標記の研究課題にとどまらない有用な結果を得た．以上の状況から，本研究は当初の予定以上に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
以下に具体的な方針を述べる．
まず，離散的なベクトル解析の手法を見直し，それをもとに数値計算の方法について考察を深めたい．上述の通り，Helmholtz-Hodge分解の数値的な構成には離散的なベクトル解析に基づく手法が利用されてきた．しかし，これにはベクトル場を離散化する操作が本質的に伴うため，それによりartifactが生じないかを確かめる必要がある．
特に，上記のような離散化を行うことで，解の軌道のトポロジー的な性質が保たれるかどうかは検証する必要がある．区分的に定数ベクトルと見なすことで，その区切り方に依存して定性的な挙動が変わってしまう可能性があるからである．そこで，離散化の前後でtopologically equivalentと呼ばれる条件を満たすかどうかを調べる．そのためには，区分的に連続な右辺をもつ常微分方程式についてtopologically equivalentと呼ばれる概念が何を意味するのかを確定し，比較を行う必要がある．
さらに，今までに得られた研究成果を深めるとともに，それらをまとめることも行いたい．
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