直線束の最小特異計量の具体的な構成とそのザリスキー分解可能性の判定への応用

2017 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17J04457
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 岩井 雅崇 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2017-04-26 – 2020-03-31
• Keywords: ベクトル束 / 消滅定理 / 特異エルミート計量

Outline of Annual Research Achievements

今年度は研究計画に基づいて, 直線束のべクトル束の射影束上の直線束について最小特異計量及びザリスキー分解に関しての研究を行った. 今年度はベクトル束の特異計量に着目し, その研究を行った。ベクトル束の特異計量に関する研究はベクトル束の射影束上の直線束についての最小特異計量及びザリスキー分解の解明につながる. 私はベクトル束およびねじれが無い連接層の特異エルミート計量についての研究を行い, その結果3つの成果を得た.
1 ベクトル束の特異エルミート計量に関するコホモロジーの消滅定理の研究. ベクトル束の射影束上の直線束についての最小特異計量の具体的な構成に関して, ベクトル束の特異エルミート計量に関するコホモ ロジーの消滅定理が重要である. このコホモロジーの消滅定理に関してはほとんどあまり結果が知られていなかっため, 私はNadel-中野型の消滅定理を始め数々のベクトル束の消滅定理を示した. このように多くのベクトル束の消滅定理を示したのは本研究が初である.
2 巨大もしくは擬有効などのベクトル束の特異エルミート計量を用いた特徴付け, 及びベクトル束のルロン数の研究. 小平やDemaillyが行った直線束の計量を用いた特徴づけをベクトル束やねじれのない連接層に関して拡張した. またザリスキー分解とも関連のあるルロン数をベクトル束にも定義を行った.
3 相対的な設定での藤田予想の研究. 射影代数多様体間の全射 f: X →Y に対して, 最小特異計量がどのように移りあうかについて研究を行い, その結果相対的な設定下における藤田予想に関して, 部分的解決を行った.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

今年度はベクトル束の射影束の直線束上のザリスキー分解や最小特異計量に関して研究を行った. その際に近年盛んに研究されているベクトル束の特異計量に着目し, それに関して, ベクトル束の特異エルミート計量に関するコホモロジーの消滅定理の研究や, 巨大もしくは擬有効などのベクトル束の特異エルミート計量を用いた特徴付け及びベクトル束のルロン数の研究を行い, 二つの結果を得た. これらはザリスキー分解や最小特異計量の解明につながる. また相対的な設定での藤田予想の研究に関しては最小特異計量がどのように移りあうかについて研究に関連がある. 以上により今後の研究に役立つ結果を今年度は確立できたため概ね順調に進展していると思われる.

Strategy for Future Research Activity

ベクトル束の射影束の直線束上のザリスキー分解や最小特異計量に関して研究に関しては前年度に引き継ぎ今年度も行う予定である. ルロン数はザリスキー分解と深い関連があるため, ベクトル束の特異エルミート計量に関するルロン数がその射影束のザリスキー分解にどのような影響を与えるのかを調べる. またベクトル束の最小特異計量を調べる. この研究を行うことによってその射影束の最小特異計量をうまく構成できると考えている.