2018 Fiscal Year Annual Research Report
多様体の幾何構造とその上のシュレディンガー方程式の関係
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17J04478
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
平良 晃一 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 散乱理論 / スペクトル理論 / 自己共役性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成30年度に得られた主な研究成果は以下の通りである。
（1）只野之英氏（東京大学）との共同研究で離散シュレディンガー作用素のビルマン・シュインガー作用素の有界性に関する結果を得た。球対称に減衰するポテンシャルの摂動に対しては連続シュレディンガー作用素と同様の結果を証明し、更に最良性も証明した。摂動のポテンシャルの減衰がl^p的な場合には連続シュレディンガー作用素とは異なる結果を得た。
（2）R^d又はZ^d上のフーリエ掛け算作用素を考える。シンボルのエネルギー面の面積測度のフーリエ変換の減衰度を仮定して、レゾルベントのL^pからL^qへの有界性とヘルダー連続性を得た。またその応用として、離散シュレディンガー作用素やディラック作用素にL^pポテンシャルを摂動させた場合の散乱理論を考察した。
（3）野村祐司教授（兵庫県立大学）との共同研究で、離散シュレディンガー作用素の閾値共鳴状態の性質を示した。ゼロエネルギーに対する閾値共鳴状態は概ね連続シュレディンガー作用素の場合と同様の性質を持つことを示した。また摂動のポテンシャルが十分早く減衰するとき、内部閾値に対する共鳴状態が存在しないことを示した。
（4）R^d上の反発型シュレディンガー作用素を考え、反発指数が大きい場合の散乱理論を考察した。また、その応用として複素固有値に対応する固有関数が数多く存在することを示した。結果的に「反発型シュレディンガー作用素はその反発指数が大きければ本質的自己共役でない」という古典的な定理の超局所解析を用いた別証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散シュレディンガー作用素はその閾値の近傍で非楕円型シュレディンガー作用素の閾値と似た性質を持ち、その閾値近傍でのスペクトルの性質を調べることができた。そのような意味で、非楕円型シュレディンガー作用素に対しても一定の成果が得られたと言える。平滑化効果については当初の目標を達成できなかったが、非楕円型シュレディンガー作用素に対して、様々な想定外の結果が得られたため、総合的には順調に研究が進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、閉多様体上の非楕円型微分作用素のスペクトル理論について考察を進める。閉多様体上の非楕円型微分作用素にある力学的条件を課すと、30年度に研究した反発型シュレディンガー作用素とある意味で似た性質を持つことがわかっている。それを利用して本質的自己共役性やスペクトルの性質について研究していく予定である。また、Hamilton流の力学的性質についても解析してく。
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Research Products
(6 results)
