2017 Fiscal Year Annual Research Report
双曲-放物型方程式系におけるパターンダイナミクスの解明
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17J04702
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
寺本 有花 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 圧縮性Navier-Stokes方程式 / パターンダイナミクス / 分岐理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
圧縮性Navier-Stokes方程式のような散逸構造を持つ双曲-放物型連立方程式系に対しては方程式の持つ双曲型の側面により，放物型方程式に対して確立された解析手法が有効でないため，手法の開発と数理構造の解明が望まれている．
このような背景のもと，双曲-放物型方程式系におけるパターンダイナミクスの数理構造の解明と解析手法を確立することを目的とし, 今年度は圧縮性Navier-Stokes方程式に対する圧縮性Taylor渦の分岐問題と安定性解析に取り組んだ．
まずは圧縮性Navier-Stokes方程式よりは双曲型の影響が少ない人工圧縮系についてTaylor渦の分岐・安定性解析を行った．人工圧縮系の層流まわりのスペクトル解析は既に行っていたので，それを用いてマッハ数が小さい場合にTaylor渦の分岐を示すことができた．次いでTaylor渦まわりの線形化作用素のスペクトル解析を行った．マッハ数を摂動パラメータとし，非圧縮からのスペクトルの摂動問題として定式化することで，人工圧縮系の虚軸近傍のスペクトルは非圧縮のものからの摂動で表せる部分と圧縮性特有の部分から構成されることが分かった．また，Taylor渦が非圧縮Navier-Stokes方程式において安定で，速度場のpotential flow部分がある種の条件を満たせば，人工圧縮系においても安定になることも示された．
次に圧縮性Navier-Stokes方程式についてTaylor渦の分岐を示した．人工圧縮系に対する解析手法に加えて，derivative lossを引き起こす項と非線形項を主要部からわけて考えることによりTaylor渦の分岐を示すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は圧縮性Navier-Stokes方程式に対するTaylor渦の分岐・安定性問題を中心に研究に取り組んだ．
本研究の主目的は双曲-放物型方程式系におけるパターンダイナミクスの解明とそのための解析手法を確立することであった．圧縮性Navier-Stokes方程式は方程式の持つ双曲型の側面により，非圧縮Navier-Stokes方程式などの放物型方程式系で用いられてきたような数学理論が有効でない．そこで，まずは圧縮性Navier-Stokes方程式よりは双曲型の影響が少ない人工圧縮系についてTaylor渦の分岐・安定性解析を行った．人工圧縮系の層流まわりのスペクトル解析を用いて，マッハ数が小さい場合にTaylor渦の分岐を示すことができた．次いでTaylor渦まわりの線形化作用素のスペクトル解析を行った．マッハ数を摂動パラメータとし，ある種のエネルギー法を用いることにより，非圧縮からのスペクトルの摂動問題として定式化を行った．人工圧縮系の虚軸近傍のスペクトルは原点まわりの非圧縮のスペクトルからの摂動で表せる部分と圧縮性特有の部分から構成されることが分かった．また，原点近傍の固有値を詳細に調べることで，分岐してきたTaylor渦が非圧縮Navier-Stokes方程式において安定かつ速度場のpotential flow部分がある種のエネルギー条件を満たせば，人工圧縮系においても安定になり．同じような分岐構造が得られることも分かった．これらの結果は今年度受理された二本の論文にまとめた．
次に圧縮性Navier-Stokes方程式についてTaylor渦の分岐を示した．人工圧縮系に対する解析手法に加えて，derivative lossを引き起こす項と非線形項を主要部からわけて考えることによりTaylor渦の分岐を示すことができた．こちらは現在論文にまとめているところである．
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| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性テイラー渦の安定性解析を行う．人工圧縮系に対する解析手法に加え，線形化作用素のスペクトル構造に基づく解の分解とその分解に対するエネルギー法を工夫し，非線形相互作用を詳細に調べる．その後パラメータを動かすことで得られる時間周期解についても同じような結果が得られるか調べる．2年目はここまで完成させることができると考えている．
2年目に引き続き，圧縮性テイラー渦の解析を行い，次いで以下の研究へ進む．
マッハ数が小さい場合に空間周期的進行波の存在を証明し，変調ダイナミクスの解析を試みる．それから人工圧縮系に対する変調ダイナミクス解析の圧縮性Navier-Stokes方程式への拡張を試みる．
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Research Products
(8 results)
