2017 Fiscal Year Annual Research Report
調和解析的観点からのLanglands関手性の研究
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17J05451
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
大井 雅雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2019-03-31
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| Keywords | 局所Langlands対応 / Langlands関手性 / 捻られたエンドスコピー / 捻られた調和解析 / p進簡約群の表現論 / 捻られた指標公式 / 基本補題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はまず斜交群および偶数次直交群の場合に，「単純超尖点表現から成るLパケットの構造」と「一般線形群へのエンドスコピー持ち上げ」を決定した．これらを考察する上では，今までの研究では見られなかった「Lパケットが一元集合にならない」，「エンドスコピー持ち上げの捻られた指標公式が存在しない」といった，群論的性質に起因する新たな困難が多数生じた．そこでこれまで同様の指標関係式の精密な計算に加え，局所Langlands対応について知られている様々な蓄積を積極的に用いることでこれらの困難を克服した．当初の予定とは手段と目的が逆転したが，この結果により，単純超尖点表現のエンドスコピー持ち上げとして得られる表現について，捻られた指標を計算することができた．この結果は今後一般的な表現に対する捻られた指標公式を構築する上で重要な足がかりになると考えられる．
またこの研究の一方で，より定性的な観点からのエンドスコピー持ち上げの考察も行った．具体的には，剰余標数が十分大という仮定の下で，古典群のLパケットの深度とそのエンドスコピー持ち上げの深度を比較する等式を得た．この研究の鍵となったのは，GanapathyとVarmaによる結果である．彼らはHarish-Chandra-Howeの局所指標展開とDeBackerによるLie環の冪零軌道の分類を組み合わせることで，Lパケットとそのエンドスコピー持ち上げの深度に関する不等式を得ていた．そこで私は，捻られた一般線型群におけるパラホリック部分群のMoy-Prasadフィルトレーションの半単純降下を調べることにより，この不等式を等式にすることに成功した．更にはこの計算の帰結として，ユニタリ群の場合にはパラホリック部分群のMoy-Prasadフィルトレーションに対する基本補題の一般化を得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
捻られた指標公式の研究に関しては，当初の予定通り単純超尖点表現のエンドスコピー持ち上げに対する捻られた指標の計算を完結させることができた．
またエンドスコピー持ち上げの深度保存則の証明については，ユニタリ群の場合には剰余標数の仮定の下で完全な解決を与えることができた．これは当初の予定を超える成果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
捻られた指標公式の研究に関しては，まず超尖点ではない表現の捻られた指標の考察を引き続き進めていきたい．エンドスコピー指標関係式から逆算するという方法での計算を検討している．また超尖点表現の捻られた指標公式に関しても，より精密な形の指標公式を確立するという点で，単純超尖点を離れより深度の大きな超尖点表現の場合に考察を深めていく予定である．
基本補題の研究に関しては，一年目の研究によってユニタリ群の場合には満足のいく結果が得られた．そして斜交群・直交群の場合には，問題が「非標準的エンドスコピー」に対する基本補題に帰着されることも分かった．そこで二年目は表現論的なインプットを組み込みながら非標準的エンドスコピーの基本補題の証明に取り組む予定である．
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