2018 Fiscal Year Research-status Report
Developments of primal and dual sparse optimization models and their efficient solution methods
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17K00032
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山下 信雄 京都大学, 情報学研究科, 教授 (30293898)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | スパース最適化 / 双対問題 / 近接勾配法 / 凸最適化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，大規模な最適化問題に対して主問題と双対問題のそれぞれが疎な解(0が多い解)をもつ数理最適化モデルを構築し，そのモデルの特性を利用した効率のよい解法を開発，さらにそれらをビッグデータの解析などに応用することである．本年度の目的は，L1ノルムを一般化した関数(凸関数とは限らない)を含む数理最適化モデルの双対性の解明と，主双対モデルの汎用的な解法を開発することであった．その目的に対して以下の成果を得た．
・ノルム空間上で定義されたゲージ最適化問題を考え，その双対問題を提案した．さらに，双対問題の性質および主問題と双対問題の関係を調べた．ゲージ最適化問題とは，ノルムを一般化したゲージ関数と一次関数によって構成された最適化問題である．本研究では，まず，ノルム空間上で定義された問題とその双対問題において強双対性が成り立つ条件を与えた．その結果，従来よりも複雑な不確実性集合をもつロバスト最適化問題を数値的に扱えるようになった．
・主双対スパースモデルに対して，実行可能領域外から近づく有効制約法を考案した．ここでの主スパースモデルの損失関数は凸関数であればよく，L1-L2最適化問題に限らない一般的な問題にも適用できる汎用性が高いアルゴリズムである．
・多目的最適化の主スパースモデルに対して，近接勾配法を開発し，その収束性および計算量を解明した．多目的最適化問題は目的関数を複数持つ最適化問題であり，複数の目的のトレードオフの関係を考慮したパレート最適解とよばれる解を求める．単目的な最適化の手法である近接勾配法を多目的最適化に拡張した．その結果，スパースなパレート最適解を求めることを可能になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究目的は，主双対スパースモデルの一般的なモデルを構築し，そのモデルに対する汎用的なアルゴリズムを構築することにあった．その目的はおおむね達成された．しかしながら，まだ，そのアルゴリズムの収束性の解明には至っていない．今後は，収束性を理論的に解明するとともに，数値実験を通して，より効率的な解法のスパース性の開発を行う．一方，次年度以降の研究課題としていた非凸な最適化問題の双対性の関しては，予定以上の成果が得られている．総合的に見ると研究はおおむね順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度以降では，まず，これまでに開発した主双対モデルの解法の理論的な性質を解明する．さらに，数値実験を通して，より効率的な実装方法を考案する．一方で，双対問題の基礎的研究として実施してきたゲージ最適化問題の理論を応用することを考える．特にその双対性を利用したロバスト最適化モデルを機械学習や金融工学などへ適用することを検討する．
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| Causes of Carryover |
本年度において良好な研究成果が複数得られた．また，次年度に数理最適化の重要な国際会議がある．そこで，それらの研究成果をその国際会議で発表するために，助成金の使用を次年度に回している．
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