2017 Fiscal Year Research-status Report
Deepening and applications of shape optimization theories
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17K05140
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
畔上 秀幸 名古屋大学, 情報学研究科, 教授 (70175876)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 最適化 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，主に偏微分方程式の係数関数や偏微分方程式の境界値問題が定義された領域の形状を設計対象にしたいわゆる密度変動型位相最適化問題と領域変動型形状最適化問題に対して，一般的な問題の定式化とその解法をより精密なものにして，それらを実用的な問題に応用することを目的としている．
初年度を終えた現時点の理論的な成果として，次の２つがあげられる．(1)両問題における評価関数の2階微分の評価法が確立し，その数値例を示すことができた．(2)境界積分が評価関数に含まれる場合，その形状微分の中に平均曲率が現れ，区分的C^2級の境界においてその計算法が課題となっていたが，法線を非同次 Neumann 条件とする楕円型偏微分方程式の境界値問題の解を用いて，その発散によって平均曲率を計算する方法を見つけることができた．その方法は，これまで筆者らが開発してきた H^1 勾配法を法線に適用した方法に相当し，プログラミングは容易である．その数値例は，部分的な Cauchy データから内部の穴形状を同定する形状逆問題に対して使われ，期待されたとおりの結果が得られている．
実問題への応用においては，次の3つの課題に対して成果があった．(1)弾性体の強度が最大化するような密度変動型問題に対して，Mises応力のKreisselmeier-Steinhauser関数を評価関数とおいた問題を定式化し，評価関数の2階微分の計算法を示し，この2階微分を使うことで収束性が改善されることを数値例で示した．(2)放射音圧が最大化するように線形弾性体の形状を決定する領域変動型問題の定式化と解法を示し，ギターの最適設計に応用した数値例を示した．(3)流れ場の安定性を向上させる領域変動型問題に対して，一様流れ場におかれた孤立物体や段付き流れ場の形状に対していくつかの局所解が存在することを数値解で示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」でかいた理論的な課題に対する2つの成果に対して，次のような進捗状況にある．(1)領域変動型問題の2階微分の評価法に関しては講演論文をまとめた本の中に掲載された（10.1007/978-981-10-6283-4）．その中で，抽象的最適設計問題における2次の最適性条件を定理の形式で示した．また，密度変動型の2階微分に対しては，実問題への応用の中で取り上げた線形弾性体の最大 Mises 応力最小化問題において，次のような成果があった．Mises 応力の Kreisselmeier-Steinhauser 関数の2階微分を従来の手順で評価しようとしたところ，等式が成り立たない箇所がでてきた．そこを最適な状態において成り立つ関係をあらかじめ仮定することで切り抜けることができた．この成果は国際会議（構造および複合領域最適化世界会議，WCSMO-12）で発表され，論文が学術誌に掲載された（10.1007/s00158-018-1937-z）．(2) 平均曲率の計算法に関しては，部分的な Cauchy データからの形状逆問題に対する数値解法に組み込んで，国際会議(力学における移動境界問題に関するIUTAM Symposium) において発表した．また，その内容は，現在，学術誌に投稿中である．
「研究実績の概要」でかいた実問題への応用に対する３つの成果に対して，次のような進捗状況にある．(1) 弾性体の強度最大化問題に対しては上記の通りである（10.1007/s00158-018-1937-z）．(2) 放射音圧最大化問題のギター設計への応用に関しては，国際会議（構造および複合領域最適化世界会議）で発表し，論文が学術誌 (JSIAM Letters) で掲載可となった．(3)流れ場の安定性を向上させる問題に対しては，論文を学術誌に投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度において進展があった次の研究について，国際会議で発表し，論文を学術誌に投稿する予定である．(1)嚥下障害の成因を解明するために医療と食品の専門家とはじめた嚥下運動における筋活動同定問題に対して，簡単な問題に対する数値例が得られつつある．2018年度は，その理論を整備して公表したい．(2)線形弾性体の周波数応答問題において，理想的な振動モードが与えられたとき，実際の振動モードがそれに近づくような形状最適化問題は定式化可能である．そのことに注目し，2017年度において，その問題を魚ロボットの設計に応用する研究を開始した．この研究においても数値例が得られつつある．2018年度には，その内容を発表し，論文としてまとめたい．
上記の研究のほかに，次の研究を進めたい．(1)部分的な Cauchy データから内部の穴形状を同定する形状逆問題に対して，境界積分によって与えられた評価関数の2階微分の評価方法に関して，理論の原型はできているが，詳細において課題が残されている．2018年度ではこれらの課題を解決したい．(2)最適化計算を高速化させるために，有限要素法によって構成された大規模連立1次方程式を特異値分解によって縮退する方法を検討する．2017年度において，そのような方法が有効であることを確認している．2018年度では理論を整備し，論文としてまとめたい．
さらに，次のような研究について着手あるいは再開したい．(1)スポーツシューズの設計においては，予想される力が加わったときの変形が理想的な変形に近づくような形状設計が求められている．企業の研究者らと協力して，この要請に応えるような問題を定式化し，数値解が得られるところまでを目指したい．(2)脊柱側弯症のCT画像データに適合するように正常な脊柱有限要素モデルを変形させる問題を形状最適化問題として研究したい．
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Research Products
(16 results)
