2019 Fiscal Year Research-status Report
Deepening and applications of shape optimization theories
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17K05140
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
畔上 秀幸 名古屋大学, 情報学研究科, 教授 (70175876)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 最適化 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は，これまでに明らかにしてきた理論に基づいて，応用分野を拡大することに積極的に取り組んだ．主な研究成果は次のとおりである．(1)嚥下運動における筋活動同定問題に関する理論と舌への応用事例について，2つの国際会議で研究成果を発表した．さらに，解剖学的知見に基づいて，複数の筋が交錯してそれらの配向角の分布は既知であると仮定したときの数理モデルを構築し，それぞれの筋活動を同定する問題を定式化した．その数値例も得た．(2)スポーツシューズの形状最適化問題に対する理論と実際のシューズモデルへの適用例に関しては，国際会議で発表し，その後，最適設計に関する国際学術誌に投稿し，採択された．(3)特異値分解を用いた形状最適化問題に対する数値解析の高速化に関しては国際会議で発表し，その後，論文を執筆した．現在，数値解析例の追加のためにプログラムを作成している．(4)部分的なCauchyデータから内部の穴形状を同定する形状逆問題（Bernoulli問題）に対して，Neumannデータを用いた形状最適化問題による定式化法を議論した論文とRobin境界条件を用いた定式化法と評価関数の2階微分を用いたNewton法による評価方法を示した2つの論文を２つの国際学術誌に投稿し，それぞれ掲載された．(5)形状最適化問題を解析する際にステップサイズや解の正則性を適切にするために様々なパラメータをAIの手法を用いて自動検索するアルゴリズムに関する研究成果を国内会議で発表した．(6)脊柱側弯症のCT画像データに適合するように正常な脊柱有限要素モデルを変形させる問題に関する研究成果を国内会議で発表した．(7)筋活動同定問題を腸の蠕動運動に適用した結果を国内会議で発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究で取り組んでいる課題は，偏微分方程式の係数関数や偏微分方程式の境界値問題が定義された領域の形状を設計対象にした密度変動型位相最適化問題と領域変動型形状最適化問題に対して，一般的な問題の定式化とその解法をより精密なものにして，それらを実用的な問題に応用することを目的としている．
理論研究に対しては，これまで次のような成果が得られている．従来，密度変動型位相最適化問題と領域変動型形状最適化問題に対して設計変数の変動に対する評価関数の2階微分は，設計変数の変動とそれに伴う状態決定問題の解の変動の関係が特定の微分方程式（等式制約を満たす許容方向集合（接面）を与える関係式）として明示的に得られるような仮定が成り立ったときに計算可能とされてきた．しかしながら，本研究において，そのような仮定を必要としない一般的な2階微分の計算方法をみつけることができた．その方法は，評価関数の1階微分を用いて勾配法によって制約条件を満たしながら目的関数を減少させるような設計変数の変動（探索ベクトル）が得られていれば，それを固定したときの評価関数の1階微分（実数値関数）に対してLagrange乗数法を適用することによって2階微分を評価する方法である．その方法によって得られる2階微分は，実際には設計変数の変動の１つを既知としたときの1階微分の微分であるため，設計変数の任意変動に対しては勾配として得られることからHesse勾配と名付けた．この概念は本研究によって明らかになったことである．
実問題への応用に関しては，これまで開発されてきた理論を用いて，超弾性体の有限変形理論を用いるバイオメカニクス分野の様々な問題に対して具体的な成果が得られている．2019年度末までに得られた成果は「研究実績の概要」や発表論文リストのとおりである．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度において得られた次の成果を国際会議で発表し，論文を学術誌に投稿する予定である．(1) 嚥下運動における筋活動同定問題に関する理論と舌への応用事例 (2) Karhunen-Loeve展開（当初は特異値分解と表現していたが，関数を対象にした特異値分解であることからこのように変更した）を用いた形状最適化問題に対する数値解析の高速化 (3) 外側境界を求めるBernoulli問題(部分的なCauchyデータから境界形状を同定する形状逆問題）に対する形状最適化問題を用いた定式化と評価関数の2階微分を用いた解法．
上記の研究のほかに，次のような研究を進めたい．(1) スポーツシューズのアッパー材に対する密度型位相最適化問題に対する理論と実際のシューズモデルへの適用について研究したいと考えている．この研究は，織物構造に対して密度型位相最適化問題を適用して，与えられた境界条件に対して，所望の（理想的な）応力分布を実現するような織物の繊維方向の密度（模様）を求める問題としてシューズの設計に役立つと考えられる．この課題に対して，理論の基本的な枠組みはできているが，実際の織物構造（異方性の超弾性体）の構成則が未定であるために理論が完成していない．今年度は，その構成則を決定して，それに対する繊維方向の密度分布を設計対象にした理論を完成させたい．(2) 脊柱側弯症の患者CT画像データに基づく骨の増減量同定問題に対して正常な脊柱からの変形に基づいた数値例を示したい．そのためには，これまで患者有限要素モデルを構築し，それを正常な形状に変形させることで数値例を得ていたものを，正常な有限要素モデルを患者CT画像データから得られる表面形状（STLデータ）に基づいた符号つき距離関数を用いた形状適合問題の定式化を用いることで目標を達成したいと考えている．
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