2017 Fiscal Year Research-status Report
Numerical study on periodic solution of three-body problem under inhomogeneous interaction potential
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17K05146
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| Research Institution | Kitasato University |
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Principal Investigator |
福田 宏 北里大学, 一般教育部, 准教授 (70238484)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 8の字解 / コレオグラフィー / モースインデックス / オイラー標数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
斉次ポテンシャル-1/r^aおよびレナード=ジョーンズ・ポテンシャル1/r^12-1/r^6で相互作用する等質量3体問題の8の字解のモースインデックスを計算した。モースインデックスとは作用の第二変分を負にする独立な変分関数の個数である。モースインデックスの計算は，変分関数を周期Tの周期関数とした場合，コレオグラフィーに限った場合，8の字コレオグラフィーに限った場合の3通り行った。それぞれのモースインデックスを順にN，Nc,Neとする。
斉次ポテンシャル系については，ポテンシャルの指数aに応じて，N=4 (0≦a≦0.9966), 2(0.9966≦a≦1.3424), 0(1.3424≦a)，そしてNc=Ne=0 (0≦a)であった。
レナード=ジョーンズ・ポテンシャル系については，スケール不変性がないために様々な形と大きさの8の字解が存在するが，標準型8の字解とその大きさを変化させて得られるひょうたん型の解について計算をおこなった。周期Tの大きい標準型の8の字解はa=6の斉次ポテンシャル系の8の字解と同じインデックスをもち，周期を連続的に変化させていくとNは0から12，Ncは0から4，Neは0から1に単調に増加してひょうたん型の解に至ることがわかった。
この計算結果は9月に応用数理学会2017年度年会で発表した。その発表でのディスカッションをヒントに，2000年にSimoの発見したコレオグラフィーではないが8の字解に非常に近い周期解，H解とモースインデックスとの関係が明らかになった。また，作用多様体のオイラー標数とモースインデックスの関係を検討し，レナード=ジョーンズ系で周期Tが小さい時では8の字コレオグラフィーの関数空間で定義される作用多様体のオイラー標数が0で保存している事を見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
予定通りモースインデックスの高精度計算ができた。高精度な計算結果から，予想外の発見があり，それによって今後の研究に大きな展望が得られた。発見とは，研究実績の概要で述べた，「2000年にSimoの発見したコレオグラフィーではないが8の字解に非常に近いH解とモースインデックスとの関係が明らかになった。」ことである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度見出した，モースインデックスと8の字解に近い周期解の関係を利用して，レナード=ジョーンズ・ポテンシャルで相互作用する等質量3体問題の8の字解の近くに存在する周期解を以下の手順で数値計算によって探索する。1)周期Tの関数としてモースインデックスN(T)を高精度に計算する。2)N(T)が変化する周期Tの近くで，モースインデックスを計算するために用いた作用の第二変分の固有関数から予想される対称性をもった周期解を探索する。3)対称性が高い場合は，8の字コレオグラフィーを探索したのと類似の，二等辺三角形配置とオイラー配置を利用した方法で探索が行えると予想される。4)Doedelらによって開発された力学系分岐探索システムAUTOを利用する事も検討する。5)オイラー標数とモースインデックスの関係を計算し，解の出現に矛盾がないことを検討する。計算はT無限大の極限で斉次ポテンシャルの8の字解に一致する8の字解の系列についておこなう。このような研究は完全に新規であるので，国際学会での発表，論文投稿を行い，今年度のように，発表・投稿によるディスカッションによって研究を進展させたい。
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| Causes of Carryover |
新しいCPUが発売されたため，計算用ワークステーションをコア数の多いものと，クロック数とコア数のバランスのよいものの2種類に分け，コア数の多いものの購入を次年度以降にしたため。
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