2019 Fiscal Year Annual Research Report
Numerical study on periodic solution of three-body problem under inhomogeneous interaction potential
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17K05146
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| Research Institution | Kitasato University |
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Principal Investigator |
福田 宏 北里大学, 一般教育部, 教授 (70238484)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 3体問題 / 8の字解 / モースインデックス / 群論的分岐理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究によって数値計算された，斉次ポテンシャル-1/r^aおよびレナード=ジョーンズポテンシャル1/r^12-1/r^6で相互作用する等質量3体問題の「8の字解」から分岐する周期解を理論的に解析した。その結果，作用汎関数に基づく群論的分岐理論を構築することができ，8の字解の分岐を理論的に理解し予測することだけでなく，一般のn体問題周期解も広く理解できるようになった。構築した理論は以下の通りである：
(1)あるパラメタξによって変化するN体問題の周期解qを考える。(2)あるξの値で分岐が生じるならば，系の作用汎関数S[q]の第二変分が0になる方向δqが存在する。(3)逆に，S[q]の第二変分が0になる方向δqが存在するならば，極端な例外を除き分岐が生じ，分岐解はq+δqで与えられる。(4)δqはqのもつ対称性の群Gの既約表現の基底であり，これから分岐解q+δqの対称性が理論的に決まる。
8の字解の対称性の群は二面体群D_6なので，この作用汎関数に基づく群論的分岐理論によると，分岐はD_6の既約表現6個に対応する6種類存在する可能性があることになる。そしてD_6の既約表現6個の内訳，4個の1次元表現と2個の2次元表現に対応して，6種類の分岐のうち4種類は8の字解と同じように3つの粒子が同じ軌道を回るコレオグラフィー型，2種類は3体が別々の軌道を回る非コレオグラフィー型である。前年度の数値計算によると，斉次ポテンシャル-1/r^aでaをパラメタとした分岐では1種類のコレオグラフィー型分岐と2種類の非コレオグラフィー型分岐，レナード=ジョーンズポテンシャルのもとで周期Tをパラメタとした分岐では6種類全ての分岐が現れた。
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