2018 Fiscal Year Research-status Report
Study on infinite dimensional algebraic groups and Lie algebras, and application to quasi-periodic and aperiodic structures
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17K05158
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
森田 純 筑波大学, 数理物質系, 教授 (20166416)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数群 / リー代数 / 群スキーム / アフィン・リー代数 / カッツ・ムーディ群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
自明なシュアー乗法因子群をもつ単純カッツ・ムーディ群に関する研究論文を国際学術雑誌に出版し、研究成果を広く公表した。これにより、無数に多くの例を創出することができる。さらに、この研究を発展させて、無数の非同型な単純カッツ・ムーディ群の系列が存在することも発見した。
また、正二十面体の対称性と黄金比を用いて、SU(2)と直交群の離散化に関する研究成果を国際学術雑誌に出版し、研究成果を広く公表した。これの応用として、たった５個の鏡映変換により、量子ビットを制御する数学的な方法を確立した。本研究はR. ムーディ教授との共同研究である。これにより、今までに比べて遥かに効率良く量子ビットを扱うことができる様になり、情報分野への応用は計り知れない。この視点により、非周期文字情報や準周期配列にも新たな応用が期待される。
局所アフィン・リー代数の同型類の分類の研究を完成させ、発表できる段階にまで理論を整備した。これにより、カルタン部分代数が無限次元のときで、非標準型の場合にも、分類問題が解決したことになり、表現論を発展させることが出来る様になった。この表現論を研究する過程で、非自明な系列が登場することが予想されるので、今までにない新しい現象が発見される可能性が高まった。また、非正方行列の行列式という斬新なアイデアを応用して、同型問題の理論を調べる方法を開拓し、発展させた。これらは吉井洋二教授との共同研究である。
アフィン・リー代数に付随するアフィン・カッツ・ムーディ群を群スキームの立場から研究した。これはA. ピアンゾラ教授と柴田大樹氏との共同研究である。非歪曲型と歪曲型の双方に共通な枠組みで理論を展開した初めての研究成果であり、画期的なものである。これを基に更なる理論展開が期待される大きな研究業績である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
カッツ・ムーディ群の単純性とシュアー乗法因子群を結びつける研究は成功した。特に、自明な乗法因子群をもつ単純カッツ・ムーディ群の新たな系列を見つけたことは大きい。今後の理論発展に向けて非常に明るい道標が得られたことになる。これは研究の方向性の正しさを証明している。さらに、この手法を駆使して、今度は逆に非同型な単純カッツ・ムーディ群の無限系列をも発見したのは期待を遥かに上回る研究成果である。この様な方法で研究が進められたことは今までの長い歴史の中でも殆ど無かったことである。
局所拡大アフィン・リー代数に関しては、局所アフィン・リー代数の研究が原点であるが、分類問題に引き続き同型問題についても、完全に解決し、理論整備まで手が届く所まで到達した。これは非常に大きな成果で、ある意味で拡大アフィン・リー代数では諦めていたテーマに対して、角度を変えて挑戦し、一定の困難を克服したことになっている。無限次元リー代数の中でも特筆すべき研究成果であろうと思われる。これにより、局所拡大アフィン・リー代数の理論全体を支える骨組みが出来たことになる。最終的な完成を目指す段階にまで順調に進展していると言える。
非周期文字列および準周期配列に対する代数的アプローチは完成の域に到達しているので、あとは新たな理論を加味してのシミュレーションが残されているのみである。プログラムの改良に思ったよりも時間が掛かってしまっているが、これは実験するに当たっては避けられない必要なことである。さらにそこに、今回、情報理論における量子ビットを制御するための代数的な理論が完成した。状態の一つ一つが独立に、バラバラに存在しているのではなく、状態の全体が確率で支配されているという考え方は新しく、今回のシミュレーションにも、必要があれば組み込んでいきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
カッツ・ムーディ群の研究に関しては、予想を超えた成果が得られているので、このまま研究を充実させていく。局所拡大アフィン・リー代数の研究に関しては、目標に向かって順調に推移しているので、さらに理論の整備を加速させていく。非周期・準周期構造の研究に関しては、代数的な枠組みは完成しているので、新たなシミュレーション実験を急ぐとともに、最近になって得られた量子ビットの制御理論も視野に入れながら、最後の詰めを急いでいく予定である。
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| Causes of Carryover |
研究連絡のための海外出張の時期が先方の都合で年度を超えたため。
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