Study on infinite dimensional algebraic groups and Lie algebras, and application to quasi-periodic and aperiodic structures

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05158
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 森田 純 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (20166416)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: Kac-Moody 群 / 基本同値 / 群スキーム / リー代数

Outline of Annual Research Achievements

イスラエル国バルイラン大学の研究者 E. Plotkin 氏との共同研究を継続中である。有限体上の Kac-Moody 群に対する基本同値性に関する研究成果を得て、それを公表すべく作業を進めている。コロナ禍のため、黒板を用いたりする直接の研究交流は難しいが、オンラインによる意見交換を通じて間接的に研究交流を行なっている。結果として、2つの Kac-Moody 群が基本同値である必要十分条件を与えた。アイデアは論理述語について解明する手法に、代数構造に関する理論を用いたアプローチを展開している。数理論理学と代数学という異分野間での理論展開を、細かく翻訳しながら進める必要があり、それが作業が難しくなっている理由である。そこに Kac-Moody 群における最新理論を適用することができ、その成果として解明が大きく進んだ経緯がある。現在、研究の最終段階であると言える。
カナダ国アルバータ大学の研究者 A. Pianzola 氏および日本国岡山理科大学の研究者 T. Shibata 氏との共同研究を継続中である。論文は2本を予定しており、1本目の論文は完成し、公表し、投稿し、国際学術雑誌に掲載許可済みの段階である。2本目の論文は投稿中である。テーマは twisted アフィン型 Kac-Moody 群を、twisted Chevalley 群を用いた群スキームの理論を用いて、Galois desent の立場で完全に記述することである。具体的に細かな計算を1本目の論文で完全に記述してある。2本目の論文では、群スキームという抽象的な立場からの結論を述べている。こちらも現在、研究の最終段階である。
日本国岩手大学の Y. Yoshii 氏との共同研究を継続中である。最小の局所アフィン・リー代数の同型類を決定すべく、最後の詰めを行い、現在、研究の最終段階である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

いずれの研究テーマも最終段階まで進んでいて、最後の詰めを残すのみでである。これだけを見ると、非常に順調であると判断できるが、コロナ禍のために研究期間の延長を余儀なくされてしまっていることも事実である。それが唯一のマイナス・ポイントであることに疑う余地はない。関係各国でも感染状況が急速に収まり、研究交流が活発に行われる環境が整うことが期待されている。仮にそうでなくても、オンライン研究交流を通じて少しでも研究目標が完遂できるように、更なる努力が必要である。そういう現状があり、それが理由の本質的な部分であると受け止めている。

Strategy for Future Research Activity

研究の最終段階においては、議論の推移を慎重に点検しながら、論文の推敲を加速させる必要がある。そのために、オンラインによる研究交流を更に充実させて、研究目標を達成するために、より一層の工夫が必要である。例えば、音声による意見交換だけでは不十分であろう。相互のパソコン画面が、あたかも本物の黒板を共有しているかの如く、手書きをしながら活発に討論できる様な仕組み、そういうソフトウエアの導入など、様々な周辺機材を導入していくのも一つのアイデアであろう。可能であれば、グッド・ノートやアップル・ペンシルなども有力候補として考えたい。

Causes of Carryover

コロナ禍により、国内外の出張を全て取りやめにせざるを得なかったことが主たる理由である。