2018 Fiscal Year Research-status Report
Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves
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17K05162
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | アイソクリスタル / エタール基本群 / 対数的代数多様体 / de Rham基本群 / de Rham-Wittコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) Xを標数p>0の完全体k上の射影的で滑らかな代数多様体で幾何的エタール基本群が自明なものとするとき，X上のアイソクリスタルは自明なものしかないだろうとde Jongにより予想されている．この予想に関する部分的結果についての以前の論文２本が出版された．また，別の部分的結果が得られているが，論文はまだ準備中である．H. Esnault氏との共同研究である．
(2) Xを標数p>0の完全体k上の滑らかな代数多様体とし，WをkのWitt環，Kをその商体とする．Davis-Langer-ZinkはXの整過収束de Rham-WittコホモロジーというW加群であるコホモロジーを定義し，それにW上Kをテンソルすると有限次元K線型空間であることを示した．そして，このコホモロジーは捻れを法とすると有限生成W加群となることが期待されていた．しかし，1次整過収束de Rham-Wittコホモロジーが捻れを法としても有限生成でないXの例が多数存在することを証明し，論文を投稿した．V. Ertl氏との共同研究である．
(3) 適切な条件を満たす標数0の対数的代数多様体の対数的ドラーム基本群の完全列に関するV. Di Proietto氏との共著論文が出版された．また，適切な条件を満たす標数0の対数的代数多様体の射に対する相対的冪単な対数的ドラーム基本群の様々な定義の比較とそれのp進的応用に関するB. Chiarellotto氏, V. Di Proietto氏との別の共著論文を完成させ，投稿した．
(4) 相対的対数de Rham-Wittコホモロジーと相対的対数クリスタリンコホモロジーとの比較定理について研究を行った．平山和貴氏との共同研究である．論文は改訂準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
de Jong予想に関連する研究は少しづつ進展している. 1次整過収束de Rham-Wittコホモロジーの無限性に関する結果は，漠然とあった専門家の期待を覆したという意味で，期待以上の結果である．標数0の対数的代数多様体の対数的de Rham基本群に関する研究は, 論文の執筆が期待通り進展した．相対的対数de Rham-Wittコホモロジーの研究について，論文の改訂がやや遅れているが，大きな問題はない．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き, de Jong予想やアイソクリスタルに関連する研究を続けていく．Higgs-de Rham流を用いたアプローチや関連研究も検討する．p進コホモロジーの整構造の研究も行っていく．
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| Causes of Carryover |
国内外への出張について，滞在費が先方負担となるものが予想より多かったため，使用額が予想より少なくなった．また，図書の購入の一部やコンピューター関連機器の購入が後回しになった．次年度は, 図書やコンピューター関連機器の購入，国内外の研究集会やセミナー等への出張を行い，研究成果の発信，研究動向の把握，共同研究の推進を行う．状況によっては，共同研究相手の招聘を行う．また，オーガナイザーを務める研究集会における招聘旅費の一部にも使う．学務等の都合で出席できない研究集会については，必要に応じて大学院生や研究員に代わりに参加してもらい，研究情報の収集に努める．
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