2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves
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17K05162
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 対数的クリスタリンコホモロジー / de Rham-Wittコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
kを標数p>0の完全体，WをkのWitt環，Kをその商体とする．k上の代数多様体Xのクリスタリンコホモロジーは，Xが固有かつ滑らかな場合に限って，W上有限生成な良い整p進コホモロジー理論を与える．一般のk上の代数多様体Xに対して，クリスタリンコホモロジーの拡張となる，W上有限生成な，何らかの意味で「良い」整p進コホモロジー理論が存在するかという問題について考えた．
良い整p進コホモロジー理論の候補の1つだと一部で思われていたXの整過収束de Rham-Wittコホモロジーを捻れで割ったものは，実際は無限生成になる例が多くあり，従って良い整p進コホモロジーにはなりえないことを昨年度に示したが，その論文が今年度に受理された．これはVeronika Ertl氏との共同研究である．
今年度は，Xの固有かつ生成的にエタールな良い超被覆の対数的クリスタリンコホモロジーについて考えた．これは常に有限生成W加群となるが，定義をするために超被覆をとる必要がある．1次コホモロジーについてはこれが超被覆のとり方によらないこと，および2次以上のコホモロジーについては超被覆のとり方に依存することがあることを証明した．前半部分は，Andreatta--Barbieri-Vialeによりpが3以上のときに知られているが，我々はp=2のときにも通用する別の方法で証明した．これはVeronika Ertl氏およびJohannes Sprang氏との共同研究である．更に，特異点解消を仮定して，良い整p進コホモロジー理論の存在について考えている．
また，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群についての研究や，非正則接続のde Rhamコホモロジーとリジッドコホモロジーについての研究を行っているが，これらはまだ研究途上である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
整過収束de Rham-Wittコホモロジーの無限性の結果は，一部の専門家の期待を覆したという意味で，期待以上の結果である．超被覆の対数的クリスタリンコホモロジーについての結果は期待通りであるが，更に研究の進展が期待できるものである．これまでに得られた結果についての論文の改訂がやや遅れているが，大きな問題はない．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，p進コホモロジーの整構造の研究を行っていく．また，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群についての研究や，非正則接続のde Rhamコホモロジーとリジッドコホモロジーについての研究も進める．これまでに得られた結果について，論文の執筆・改訂が必要なものについて，それを進める．
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| Causes of Carryover |
今年度は大学業務の関係で，国内外への出張について，使用額が予想より少なくなった．また，コンピューター関連機器の購入が後回しになった．次年度は，図書やコンピュータ関連機器の充実のために予算を使用し，活動が制限された状況においても研究が充分に行える環境づくりを目指す．
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