2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves
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17K05162
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対数的代数多様体 / 対数的クリスタリンコホモロジー / 対数的ドラームヴィットコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
標数p>0の完全体k上の代数多様体Xに対して，滑らかかつ良いコンパクト化が可能な場合は対数的クリスタリンコホモロジーと一致し，有理的にリジッドコホモロジーと一致し，かつ有限生成W(k)加群となるような良い整p進コホモロジー理論が存在するかという問題について研究を続けた．昨年度は，特異点解消についての強い予想を仮定すると，上記のような良い整p進コホモロジー理論でrh降下性質を満たすものが存在し，また，「rh降下性質」をより強い「エタール降下性質」に置き換えた場合はそのようなものが存在しないことを証明したが，今年度はまずこれらの結果について論文を執筆した．また，このようなp進コホモロジー理論の基本的性質の解明，興味深い(例えばコホモロジーが捻れを持つような)具体例の構成や，対数的クリスタリンChern類写像やリジッドChern類写像と整合的なChern類写像の構成について引き続き研究を続けた．特に，証明を適宜改良することにより，「rh降下性質」より強く「エタール降下性質」より弱い「cdh降下性質」を満たすような良い整p進コホモロジー理論の存在がわかったので，論文を改訂中である．これはV. Ertl氏，J. Sprang氏との共同研究である．
また，対数的収束コホモロジー，対数的ドラームヴィットコホモロジー，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群，アイソクリスタルに関するde Jong予想，クリスタリンChern類写像，p進微分方程式についてこれまでに得られたいくつかの結果に対する論文の執筆，改訂を引き続き行っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
整p進コホモロジー理論に関する研究については期待通りの結果が得られている．コロナ禍により共同研究者との直接の議論はできず，また情報収集などの研究活動は制限されているが，研究を進めることができている．これまでに得られた結果についての論文の執筆，改訂については遅れがあるが，大きな問題はない．
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| Strategy for Future Research Activity |
整p進コホモロジーについての論文を完成させる．また，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群の研究，非正則接続のde Rhamコホモロジーとリジッドコホモロジーの研究，de Jong予想に関連した研究も進める．これまでに得られた結果について，論文の執筆，改訂を進める．
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| Causes of Carryover |
今年度もコロナ禍により，国内外への出張が不可能であった．次年度は国内外の研究集会が従来に近い形で行われることが期待されるので，国内外への出張を行い，研究討論，研究情報収集に努める．大学内業務の都合で出張が困難な場合は，大学院生に出張してもらい，研究上の情報収集，資料収集を代わりに行ってもらう．また，コロナ禍のような非常事態に備えた研究環境づくりを進める．
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Research Products
(2 results)
