2017 Fiscal Year Research-status Report
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17K05163
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
鈴木 正俊 東京工業大学, 理学院, 准教授 (30534052)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 整数論 / ゼータ関数 / L関数 / 零点分布 / de Branges 空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
保型L関数などの数論的ゼータ関数・L関数に対して，それらの零点分布に関する一般リーマン予想を仮定すると，de Branges 空間と呼ばれる整関数の成す Hilbert 空間が得られる．そういった de Branges 空間の構造を定めるハミルトニアンを具体的に構成するという問題は，一般リーマン予想の成否と深く関わっており，本研究における主要なテーマの一つである．代表者はこれに取り組むため，目的とするゼータ関数・L関数そのものではなく，ある補助的な2つのパラメータによって，ゼータ関数・L関数を微小変形させたものを考察してきた．すると, 各微小変形に対応した de Branges 空間のハミルトニアンを， ある積分作用素の Fredholm 行列式を用いて具体的に表示することができる．この構成法は本研究課題開始前に代表者が得たものだが, この手法では一つのゼータ関数に対して，二種の積分方程式を用意する必要があった．本年度の成果の一つとして，この手法は，より単純な唯一種類の積分方程式を用いたものに簡略化された．また，本年度のもう一つの成果として，最も単純なゼータ関数であるリーマンゼータ関数の場合に， 従来の手法における補助的なパラメータを排除する方法が一つ得られた．つまり，ゼータ関数・L関数の微小変形を経由する過程を理論から排除したのだが，関連するHilbert空間がde Branges 空間ではなくなってしまうというデメリットも生ずるため，それを回避するにはより研究を進める必要がある．いっぽう，補助的パラメータを排除することによって得られた等式の一つは，研究計画で述べたものとは全く別方向から，本研究とゼータ関数の値分布論との新しい関係性を示唆するものとなっており，今後の解明に興味が持たれる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
年度前半には想定通りに計算が進まない状況もあったが，後半には研究実績の概要に記したような結果が次々得られ，全体としては，次年度以降への準備としても，おおむね満足すべき進展が得られたと思う．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べたような補助的パラメータの排除を行うと，整関数の成す Hilbert空間ではないような Hilbert 空間を扱う必要性が生ずる．本研究の方針でゼータ関数の零点分布を研究する際，この事がどれほどの影響を及ぼすのかを明らかにするため，今後そのようなHilbert空間について一層の考察を行う．また，新たに示唆された値分布論との関係についても研究を進める．まずこれらを最も単純なリーマンゼータ関数について行った後，より一般の数論的ゼータ関数への拡張について考察する．
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| Causes of Carryover |
予定していた書籍の納入が遅れる見込みとなったため, 当該書籍の購入に必要と見込まれる金額を翌年度分として請求する事とした. この分は，次年度に物品費の一部として使用する予定である.
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| Remarks |
研究代表者の研究成果等に関するwebページ
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Research Products
(8 results)
