種々の数論的対象から生ずる誤差項の平均値定理

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05166
• Research Institution: Hamamatsu University School of Medicine
• Principal Investigator: 古屋 淳 浜松医科大学, 医学部, 教授 (10413890)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 数論的誤差項 / 平均値定理 / 漸近公式

Outline of Annual Research Achievements

当該年度は、（１）数論的関数の定義の種々の設定における和の考察・種々の条件を付随した数論的関数の和の考察（２）一般的な設定の下での数論的誤差項の平均値定理についての考察等の2点についての研究を主に行なった。
（１）については、種々の古典的数論的関数、例えばオイラー関数やメビウス関数等、の既存の定義に新たなる条件を付した数論的関数の和公式・和に対しての種々の条件を付した和公式の考察等を行った。これらの研究は過去に数多くの数論学者によって研究対象となっている分野ではあるがそれらの解読・まとめ直しに多くの時間を費やしたため新たなる結果をまとめ上げることができてはいない状況である。
（２）については、以前の研究において導出されているリーマンゼータ関数の微分と一般的なディリクレ級数の積から生ずるある種の数論的関数の和公式（恒等式・漸近公式）に対してそれをオイラー関数の拡張型等の既存の数論的関数の定義の拡張へと拡張することの考察を行った。具体的には、オイラー関数の生成関数を微分化したものに変え新たなる関数を生成しそれの和公式を考えることを研究の対象にすることを考えた。その際には関連する種々の別公式が必要になるがそれらの考察・導出も併せて行っている状況である。
（１）（２）はともに、一部を学外研究者との共同研究という形で研究を行っているが最終的な結果までは到達できてはいない状況ではある。今後も引き続き学外研究者との共同研究という形で継続して研究を続けていく形で計画を立てているところである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

前述の通り現在は数論的関数、特にメビウス関数やオイラー関数から派生する各種の関数の和や、それらの条件付きの和に関する考察は最終的な結論までは到達していないが徐々に研究を進めている状況である。その意味で研究は順調に進んでいるものといえ、またこの分野に対して継続して研究が行える状況であるといえる。

Strategy for Future Research Activity

上述のように、種々の設定における数論的関数の和も考察の研究は概ね順調に進んでおり、また、派生する新たなる問題の設定できる状況であると考えられる状況である。これらの研究の結果をもとに、過年度からのテーマである「関連する各種ディリクレ級数の性質の考察」への応用・適用の可能性の考察を行っていくことを計画している。