種々の数論的対象から生ずる誤差項の平均値定理

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05166
• Research Institution: Hamamatsu University School of Medicine
• Principal Investigator: 古屋 淳 浜松医科大学, 医学部, 教授 (10413890)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 平均値定理 / 数論的誤差項 / 広義積分 / オイラー関数 / 約数関数の一般化

Outline of Annual Research Achievements

当該年度は「数論的誤差項を含むある種の広義積分の解析、特にその積分の明示公式の導出」を研究の目標として設定した。ここで、数論的誤差項として取り上げたものは（１）オイラー関数の和より生じる誤差項（２）ゼータ関数の微分の積から得られる数論的関数の和より生じる誤差項（３）一般的な設定における誤差項、の３種類の誤差項である。具体的には複素変数θ、非負整数jに対して、数論的誤差項E(x)にlog x のj乗を乗じxのθ乗で除した関数のx≧1における広義積分の明示公式を導出しようという試みである。

まずは（１）（２）においてj=0および1の場合において具体的な値のθについて明示公式の導出を試みた。（１）に関してはj=0かつθ＝2については先行研究が存在していたがそれ以外の値 (j＝0かつθ＝3、j＝1かつθ＝2、等) での結果、（２）ついて具体的なθ、j=0,1に対しての結果を導いた。しかしながら、該当の広義積分の複素関数としての解析的性質の導出には未だ手付かずの部分が多い。これは、一般のjに対する明示公式の導出のために必要となる事項の1つであるが、ここが未だ最終結果に至っていないためこの研究は現時点では未完成となってしまっている。

上記（１）（２）は、まずその対象で具体的な問題に取り組み（３）への一般化に向けての足掛かりを作るという設定である。これらは複素数θを変数とする複素関数の性質の解析であるが（１）から（３）については一般的なθに対しては現在も研究は継続中である。（３）に対しては誤差項にある種のいくつかの仮定が必要になることは研究当初から議論の対象なることは分かってはいたがその仮定を模索している最中でありこちらも継続研究中である。なお、これらの課題の一部は学外研究者との議論を行っている課題で共同研究とすべく計画している。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

新型コロナの影響により学外研究者・有識者との意見交換や状況報告等も満足には行えない状況であり、最新の情報収集も論文入手や書籍からの検索が主であったため思うように研究が進展しなかったのが現状である。また、コロナ渦における影響で学内業務の例年からの変更・例年までの業務への追加業務等が多かったのも理由の１つである。

Strategy for Future Research Activity

今年度の研究実績の概要欄に記載の通り、数論的関数の和より生じる誤差項を含む広義積分の解析の継続研究を行っていく。これは、過年度においても問題設定を行った「数論的誤差項に関連したディリクレ級数の解析」の研究のために必要な準備と期待される問題設定だからである。まずは、具体的な数論的誤差項・具体的な設定、および一般的な設定における複素数θに対する該当の広義積分の、複素関数としての解析的性質の探求を行っていく。その後、その性質を利用し一般的な設定における該当の広義積分の明示公式の導出を目標とする。またこの広義積分の他の数論的対象との関連、例えばある種のディリクレ級数との関連の有無や平均値定理との関連の考察等、をも行っていきたい。

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由は、新型コロナの影響で年度当初に予定していた学外研究者や有識者との意見交換等が思うようにできなかったこと、多くの学会・シンポジウムが開催中止またはWEBでの開催への切り替えが行われたためである。

使用計画は、研究打ち合わせ・研究に関する意見交換等の旅費として設定を計画したいが、現在まだコロナ禍の影響が強いためもし旅費として使用ができない場合には文献収集・資料収集に予算を計上することを計画している。